2014年高考真题—文科数学（广东卷）解析版

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合,则（ ）

A． B． C． D．

解析：本题考查集合的基本运算，属于基础题.，故选C.

2．已知复数满足，则（ ）

A． B． C． D．

解析：本题考查复数的除法运算，属于基础题..故选A.

3．已知向量，则（ ）

A． B． C． D．

解析：本题考查向量的基本运算，属于基础题..故选C.

4．若变量满足约束条件则的最大值等于（ ）

A．11 B．10 C．8 D．7

4、解析：本题考查线性规划问题。在平面直角坐标系中画图，作出可行域，可得该可行域是由（0，0），（0，3），（2，3），（4，2），（4，0）组成的五边形。由于该区域有限，可以通过分别代这五个边界点进行检验，易知当x=4，y=2时，z=2x+y取得最大值10。本题也可以通过平移直线，当直线经过（4，2）时，截距达到最大，即取得最大值10.故选答案B.

5．下列函数为奇函数的是（ ）

A． B． C． D．

5、解析：本题考察函数的奇偶性.对于A，，非奇非偶，对于B，，为偶函数；对于C,，

为偶函数；D中函数的定义域为R，关于原点对称，且

为奇函数.故答案为D。

6．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为（ ）

A．20 B．25 C．40 D．50

6、解析：本题考查系统抽样的特点。分段的间隔为，故答案为B.

7．在中，角A,B,C所对应的边分别为则“”是“”的（ ）

A．充分必要条件 B．充分非必要条件

C．必要非充分条件 D．非充分非必要条件

7、解析：本题考查正弦定理的应用。由于所以

所以，故“”是“”的充要条件，故选答案为A.

8．若实数满足，则曲线与曲线的（ ）

A．焦距相等 B． 离心率相等 C．虚半轴长相等 D． 实半轴长相等

8、解析：本题考查双曲线的定义和几何性质.本题可以采用一般法和特殊法，一般法在这里不赘述，令，则这两个曲线方程分别为和，它们分别对应的，故。所以它们的焦距相等，故答案为A.

9．若空间中四条两两不同的直线，满足则下列结论一定正确的是（ ）

A． B．

C．与既不垂直也不平行 D．与的位置关系不确定

9、解析:本题考查空间中线线的位置关系。以正方体为模型，易知和的位置关系可能有或，故与的位置关系不确定.故答案为D.

10．对任意复数定义其中是的共轭复数，对任意复数有如下四个命题：

①②；

③④；

则真命题的个数是（ ）

A．4 B．3 C．2 D．1

10、解析：本题属于信息创新型题目，要求学生利用以学过的知识来解决新问题.

对于①，

对于②，.

令，，则，则

，所以

③

故

④，故

故答案为C.

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．

（一）必做题（11—13题）

11．曲线在点处的切线方程为________．

解析：本题考查导数的几何意义。，故，所以在点处的切线方程为即

12．从字母中任取两个不同字母，则取字母的概率为________．

解析：本题考查古典概型.采用列举法，从字母中任取两个不同字母有ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de共10个，含有字母a有ab,ac,ad,ae。故概率为

13．等比数列的各项均为正数，且，则 ________．

解析：本题考查等比数列的定义和性质.

本题也可以直接引入和这两个基本量求解.

选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）

14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线与的方程分别为与，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线与交点的直角坐标为________

解析：本题考查极坐标与平面直角坐标系的互化.由得即，由得.联立和，解得，，所以则曲线与交点的直角坐标为（1，2）.

15．（几何证明选讲选做题）如图1，在平行四边形中，点在上且与交于点则

解析：本题考查平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定以及性质。因为即,所以∽,所以

三．解答题：本大题共6小题，满分80分

16．（本小题满分12分)

已知函数，且

求的值；

若，求

解析：（1）由题意得，所以

.

（2）由（1）得，所以

所以

.因为，所以.

所以

点评：笔者觉得2014年广东高考的三角函数题目难度总体比往年大，第一问属于送分题，与往年设计求解特殊函数值类似，第二问比往年设计得复杂些，但对于中上层考生来讲，笔者仍觉得这是个容易题，思维受阻的可能性比较小.

17．（本小题满分13分）

某车间20名工人年龄数据如下表：

.

求这20名工人年龄的众数与极差；

以十位数为茎，个位数为叶，作出这20名工人年龄的茎叶图；

求这20名工人年龄的方差．

解析：（1）年龄30的的工人数为5，频率最高，故这20名工人年龄的众数为30，极差为最大值与最小值的差，即40-19=21.

（2）茎叶图如下:

(3)这20名工人年龄的平均数为

所以这20名工人年龄的方差

点评：类似于本题的题目其实学生已经不小，所以学生对这种题型不会有陌生感.但是我觉得学生会遇到几个问题，一是计算容易出错，二是在画茎叶图可能不是很规范。另外关于极差，很可能大部分学生都忘记了.

18．（本小题满分13分）

如图2，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，AB=1，BC=PC=2,作如图3折叠：折痕EF∥DC，其中点E，F分别在线段PD，PC上，沿EF折叠后点P在线段AD上的点记为M，并且MF⊥CF．

证明：CF⊥平面MDF；

求三棱锥M-CDE的体积．

18（1）证明：（1）因为面,面,所以.又因为四边形为矩形，所以,因为,所以面.在图3中，因为面，所以即,又因为,,所以面.

(2)因为面，面,所以.在图2中，.

因为,所以.所以在中，，.所以在图3中，即.在,.又因为在,,所以,所以,所以

所以.

点评：本次考试的立体几何题基本与近两年较相似，主要汇集在线面位置关系的证明和锥（柱）体的体积求解，本题的第（2）问计算量较大，这也是做立体几何题常常会遇到的一个困难和挑战！

19．（本小题满分14分）

设各项均为正数的数列的前项和为，且满足

求的值；

求数列的通项公式；

证明：对一切正整数，有

解析：（1）当时，解得或。因为，所以.

（2）由题意得,因为，所以，所以，所以

即

当时，

当，满足上式，故

（3）证明：当时，.

当时，

所以

所以

故对一切正整数，有

点评：本道题的第（1）问是基础题，难度较小，第（2）问可能会让部分学生思维受阻，注意到，其本质就是关于的一元二次方程，采用因式分解或求根公式求出是解决本题的关键！第（3）问是数列求和放缩问题，放缩目标为，结合题目特点不难猜测利用这个模型就可以达到目的，而在证明方法很多，分析法和综合法都可以派上用场。与2014年广东理科数列题第19相比，笔者觉得文科的难度其实更大！

20．（本小题满分14分）

已知椭圆的一个焦点为，离心率为。

求椭圆C的标准方程；

若动点为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．

解析：（1）由题意得，，所以，所以，所以椭圆C的标准方程为.

由题意可设两条直线的斜率存在，则其中的一条切线方程为，则另一条切线为.联立，消得

因为直线与椭圆相切，所以，化简得.同理可得。又因为是这两条切线的交点，所以联立解得，所以.所以，，因为，所以，将和代入式，得

.

当与轴垂直，轴时，或与轴垂直轴时，此时满足条件的的坐标为，满足上述方程，所以点P的轨迹方程为

点评：本题的第（2）问与2012年广东文科高考和2011年广东理科第（1）问有几分相似，方法很类似，考查了转化与化归的能力，计算量较大.可以看出往年的高考题就是最好的模拟试题！

21．(本小题满分14分)

已知函数

求函数的单调区间；

当时，试讨论是否存在，使得

解析：.令

当即时，，所以的单增区间为.

当即时，有两个不等的根，，

当当当所以的单增区间为和，单减区间为.

综上所述，当，的单增区间为.当，的单增区间为和，单减区间为..

（2）当时，，，.因为，所以所以，.

由（1）知在单减，在单增.

当即时，在单减，故不存在，使得

当即，在上单减，在上单增.

当即此时在上单减，在上单增.故不存在，使得

当时，此时，所以，而，所以存在使得.

时，存在，使得.

当时，此时

，所以，而，即

，所以存在使得.

综上所述： 当或时，不存在，使得，当

或时，存在，使得.

点评：与2011广东高考的19题或2012的21题相比，你会觉得第（1）问其实并不难！难度较大的是本题的第（2）问，综合考查了分类讨论和转化与化归思想的能力，可以想象学生在短短的两小时内要考虑这么多，将是一个很大的挑战和考验！