第卷（选择题 共50分）

一. 选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1． [2014·安徽卷] 设i是虚数单位，复数i3＋＝(　　)

A．－i B．i C．－1 D．1

1．D　[解析] i3＋＝－i＋＝1.

2． [2014·安徽卷] 命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，|x|＋x2<0

B．∀x∈R，|x|＋x2≤0

C．∃x0∈R，|x0|＋x<0

D．∃x0∈R，|x0|＋x≥0

2．C　[解析] 易知该命题的否定为“∃x0∈R，|x0|＋x<0”．

3． [2014·安徽卷] 抛物线y＝x2的准线方程是(　　)

A．y＝－1 B．y＝－2

C．x＝－1 D．x＝－2

3．A　[解析] 因为抛物线y＝x2的标准方程为x2＝4y，所以其准线方程为y＝－1.

4． [2014·安徽卷] 如图1­1所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是(　　)

图1­1

A．34 B．55 C．78 D．89

4．B　[解析] 由程序框图可知，列出每次循环过后变量的取值情况如下：

第一次循环，x＝1，y＝1，z＝2；

第二次循环，x＝1，y＝2，z＝3；

第三次循环，x＝2，y＝3，z＝5；

第四次循环，x＝3，y＝5，z＝8；

第五次循环，x＝5，y＝8，z＝13；

第六次循环，x＝8，y＝13，z＝21；

第七次循环，x＝13，y＝21，z＝34；

第八次循环，x＝21，y＝34，z＝55，不满足条件，跳出循环．

5． [2014·安徽卷] 设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)

A．b<a<c B．c<a<b

C．c<b<a D．a<c<b

5．B　[解析] 因为2>a＝log37>1，b＝21.1>2，c＝0.83.1<1，所以c<a<b.

6． [2014·安徽卷] 过点P(－，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.

6．D　[解析] 易知直线l的斜率存在，所以可设l：y＋1＝k(x＋)，即kx－y＋k－1＝0.因为直线l圆x2＋y2＝1有公共点，所以圆心(0，0)到直线l的距离≤1，即k2－k≤0，解得0≤k≤，故直线l的倾斜角的取值范围是.

7． [2014·安徽卷] 若将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是(　　)

A. B.

C. D.

7．C　[解析] 方法一：将f(x)＝sin的图像向右平移φ个单位，得到y＝sin的图像，由所得图像关于y轴对称，可知sin＝±1，即sin＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，又φ>0，所以φmin＝.

8． [2014·安徽卷] 一个多面体的三视图如图1­2所示，则该多面体的体积是(　　)

图1­2

A. B. C．6 D．7

8．A　[解析] 如图所示，由三视图可知该几何体是棱长为2的正方体截去两个小三棱锥后余下的部分，其体积V＝8－2×××1×1×1＝.

9． [2014·安徽卷] 若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)

A．5或8 B．－1或5

C．－1或－4 D．－4或8

9．D　[解析] 当a≥2时，

f(x)＝

由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝－1＝3，可得a＝8.

当a<2时，f(x)

由图可知，当x＝－时，fmin(x)＝f＝＋1＝3，可得a＝－4.综上可知，a的值为－4或8.

10． [2014·安徽卷] 设a，b为非零向量，|b|＝2|a|，两组向量x1，x2，x3，x4和y1，y2，y3，y4均由2个a和2个b排列而成，若x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4所有可能取值中的最小值为4|a|2，则a与b的夹角为(　　)

A. B. C. D．0

10．B　[解析] 令S＝x1·y1＋x2·y2＋x3·y3＋x4·y4，则可能的取值有3种情况：S1＝2＋2，S2＝＋＋2a·b，S3＝4a·b.又因为|b|＝2|a|.所以S1－S3＝2a2＋2b2－4a·b＝2>0，S1－S2＝a2＋b2－2a·b＝(a－b)2>0，S2－S3＝(a－b)2>0，所以S3<S2<S1，故Smin＝S3＝4a·b.设a，b的夹角为θ，则Smin＝4a·b＝8|a|2cos θ＝4|a|2，所以cos θ＝.又θ∈[0，π]，所以θ＝.

11． [2014·安徽卷] ＋log3＋log3＝________.

11.　[解析] 原式＝ ＋log3＝＝.

12． [2014·安徽卷] 如图1­3，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2，过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；….依此类推，设BA＝a1，AA1＝a2，A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________．

图1­3

12.　[解析] 在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2 ，所以AB＝AC＝a1＝2，由题易知A1A2＝a3＝AB＝1，…，A6A7＝a7＝·AB＝2×＝.

13． [2014·安徽卷] 不等式组表示的平面区域的面积为________．

13．4　[解析] 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，S△ABD＝S△ABD＋S△BCD＝×2×(2＋2)＝4.

14． [2014·安徽卷] 若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝______．

14.　[解析] 由题易知f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝.

15． [2014·安徽卷] 若直线l与曲线C满足下列两个条件：

(i)直线l在点P(x0，y0)处与曲线C相切；(ii)曲线C在点P附近位于直线l的两侧．则称直线l在点P处“切过”曲线C.

下列命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．

①直线l：y＝0在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝x3；

②直线l：x＝－1在点P(－1，0)处“切过”曲线C：y＝(x＋1)2；

③直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝sin x；

④直线l：y＝x在点P(0，0)处“切过”曲线C：y＝tan x；

⑤直线l：y＝x－1在点P(1，0)处“切过”曲线C：y＝ln x.

15．①③④　[解析] 对于①，因为y′＝3x2，y′x＝0＝0，所以l：y＝0是曲线C：y＝x3在点P(0，0)处的切线，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，①正确；

对于②，因为y′＝2(x＋1)，y′x＝－1＝0，所以l：x＝－1不是曲线C：y＝(x＋1)2在点P(－1，0)处的切线，②错误；

对于③，y′＝cos x，y′x＝0＝1，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，③正确；

对于④，y′＝，y′x＝0＝1，所以曲线C在点P(0，0)处的切线为l：y＝x，画图可知曲线C在点P附近位于直线l的两侧，④正确；

对于⑤，y′＝，y′x＝1＝1，所以曲线C在点P(1，0)处切线为l：y＝x－1，又由h(x)＝x－1－ln x(x>0)可得h′(x)＝1－＝，所以hmin(x)＝h(1)＝0，故x－1≥ln x，所以曲线C在点P附近位于直线l的下侧，⑤错误．

16． [2014·安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，△ABC的面积为.求cos A与a的值．

16．解： 由三角形面积公式，得

×3×1·sin A＝，故sin A＝.

因为sin2A＋cos2A＝1，

所以cos A＝±＝±＝±.

①当cos A＝时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝8，

所以a＝2 .

②当cos A＝－时，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝32＋12－2×1×3×＝12，所以a＝2 .

17． [2014·安徽卷] 某高校共有学生15 000人，其中男生10 500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据(单位：小时)．

(1)应收集多少位女生的样本数据？

(2)根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图(如图1­4所示)，其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．

图1­4

(3)在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

附：K2＝

17．解： (1)300×＝90，所以应收集90位女生的样本数据．

(2)由频率分布直方图得每周平均体育运动超过4小时的频率为1－2×(0.100＋0.025)＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75.

(3)由(2)知，300位学生中有300×0.75＝225(位)的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时．又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：

结合列联表可算得K2＝＝≈4.762>3.841.

所以有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．

18． [2014·安徽卷] 数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.

(1)证明：数列是等差数列；

(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.

18．解： (1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1，所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．

(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2，

从而可得bn＝n·3n.

Sn＝1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n，①

3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)3n＋n×3n＋1.②

①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝，

所以Sn＝.

19． [2014·安徽卷] 如图1­5所示，四棱锥P ­ ABCD的底面是边长为8的正方形，四条侧棱长均为2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH⊥平面ABCD，BC∥平面GEFH.

图1­5

(1)证明：GH∥EF；

(2)若EB＝2，求四边形GEFH的面积．

19．解： (1)证明：因为BC∥平面GEFH，BC⊂平面PBC，且平面PBC∩平面GEFH＝GH，所以GH∥BC.

同理可证EF∥BC，因此GH∥EF.

(2)连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.

因为PA＝PC，O是AC的中点，所以PO⊥AC，同理可得PO⊥BD.又BD∩AC＝O，且AC，BD都在平面ABCD内，所以PO⊥平面ABCD.

又因为平面GEFH⊥平面ABCD，

且PO⊄平面GEFH，所以PO∥平面GEFH.

因为平面PBD∩平面GEFH＝GK，

所以PO∥GK，所以GK⊥平面ABCD.

又EF⊂平面ABCD，所以GK⊥EF，

所以GK是梯形GEFH的高．

由AB＝8，EB＝2得EB∶AB＝KB∶DB＝1∶4，

从而KB＝DB＝OB，即K是OB的中点．

再由PO∥GK得GK＝PO，

所以G是PB的中点，且GH＝BC＝4.

由已知可得OB＝4，PO＝＝＝6，

所以GK＝3，故四边形GEFH的面积S＝·GK＝×3＝18.

20． [2014·安徽卷] 设函数f(x)＝1＋(1＋a)x－x2－x3，其中a>0.

(1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(2)当x∈[0，1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x的值．

20．解： (1)f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，

f′(x)＝1＋a－2x－3x2.

令f′(x)＝0，得x1＝，

x2＝，且x1<x2，

所以f′(x)＝－3(x－x1)(x－x2)．

当x<x1或x>x2时，f′(x)<0；

当x1<x<x2时，f′(x)>0.

故f(x)在和 内单调递减，

在内单调递增．

(2)因为a>0，所以x1<0，x2>0，

①当a≥4时，x2≥1，由(1)知，f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在x＝0和x＝1处分别取得最小值和最大值．

②当0<a<4时，x2<1，由(1)知，f(x)在[0，x2]上单调递增，在[x2，1]上单调递减，

因此f(x)在x＝x2＝处取得最大值．又f(0)＝1，f(1)＝a，

所以当0<a<1时，f(x)在x＝1处取得最小值；

当a＝1时，f(x)在x＝0和x＝1处同时取得最小值；

当1<a<4时，f(x)在x＝0处取得最小值．

21． [2014·安徽卷] 设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.

(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；

(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．

21．解：(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.

因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，所以|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.

故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.

(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得

|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.

在△ABF2中，由余弦定理可得

|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2·cos∠AF2B，

即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)· (2a－k)，

化简可得(a＋k)(a－3k)＝0，而a＋k>0，故a＝3k，

于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.

因此|BF2|2＝|AF2|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A.

故△AF1F2为等腰直角三角形，

从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.

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