一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。

1．已知集合，集合为整数集，则

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，，故

2．在的展开式中，含项的系数为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】含项为

3．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上

所有的点

A．向左平行移动个单位长度 B．向右平行移动个单位长度

C．向左平行移动个单位长度 D．向右平行移动个单位长度

【答案】A

【解析】因为，故可由函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度得到

4．若，，则一定有

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由，又，由不等式性质知：，所以

5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的，则输出的的最大值为

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】当时，函数的最大值为2，否则，的值为1.

6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，则不同的排法共有

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有种；当最左端为乙时，不同的排法共有种。

共有+种

7．平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角，则

A． B． C． D．

【答案】D

【解析1】

因为，，所以，又

所以即

【解析2】由几何意义知为以，为邻边的菱形的对角线向量，又故

8．如图，在正方体中，点为线段的中点。设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】直线与平面所成的角为的取值范围是，

由于，，所以的取值范围是

9．已知，。现有下列命题：

①；②；③。其中的所有正确命题的序号是

A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②

【答案】C

【解析】故①正确

但左边的，右边的，故②不正确

当时，

令（）

因为，所以在单增，

即，又与为奇函数，所以成立故③正确

10．已知是抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为

坐标原点），则与面积之和的最小值是

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设直线AB的方程为：，点，，又，直线AB与轴的交点（不妨假设）

由，所以

又

因为点，在该抛物线上且位于轴的两侧，所以，故

于是

当且仅当时取“”

所以与面积之和的最小值是

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．复数_____________。

【答案】

【解析】

12．设是定义在R上的周期为2的函数，当时，，则 ___________。

【答案】

【解析】

13．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于___________ 。（用四舍五入法将结果精确到个位。参考数据：，，，，）

【答案】

【解析】，

14．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是___________。

【答案】

【解析】，，因为，所以,故（当且仅当时取“”）

15．以表示值域为R的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间。例如，当，时，，。现有如下命题：

①设函数的定义域为，则“”的充要条件是“，，”；

②函数的充要条件是有最大值和最小值；

③若函数，的定义域相同，且，，则；

④若函数（，）有最大值，则。

其中的真命题有___________ 。（写出所有真命题的序号）

【答案】①③④

三．解答题：本大题共6小题，共 75分。解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16．已知函数。

（1）求的单调递增区间；

（2）若是第二象限角，，求的值。

解：（1）由

所以的单调递增区间为（）

（2）由

因为

所以

又是第二象限角，所以或

①由（）

所以

②由

所以

综上，或

17．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得分）。设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立。

（1）设每盘游戏获得的分数为，求的分布列；

（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？

（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了。请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因。

解：（1）可能取值有，10，20，100

，，

，

故分布列为

（2）由（1）知：每盘游戏出现音乐的概率是

则玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是

（3）由（1）知，每盘游戏获得的分数为的数学期望是

分

这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而会减少。

18．三棱锥及其侧视图、俯视图如图所示。设，分别为线段，的中点，为线段上的点，且。

（1）证明：为线段的中点；

（2）求二面角的余弦值。

解：（1）由三棱锥及其侧视图、俯视图可知，在三棱锥中：

平面平面，

设为的中点，连接，

于是， 所以平面

因为，分别为线段，的中点，所以，又，故

假设不是线段的中点，则直线与直线是平面内相交直线

从而平面，这与矛盾

所以为线段的中点

（2）以为坐标原点，、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，

于是，，

设平面和平面的法向量分别为和

由，设，则

由，设，则

所以二面角的余弦值

（1）若，点在函数的图象上，求数列的前项和；

（2）若，函数的图象在点处的切线在轴上的截距为，求数列的前 项和。

解：（1）点在函数的图象上，所以，又等差数列的公差为

所以

因为点在函数的图象上，所以，所以

又，所以

（2）由

函数的图象在点处的切线方程为

所以切线在轴上的截距为，从而，故

从而，，

所以

故

20．已知椭圆C：（）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形。

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q。

（i）证明：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；

（ii）当最小时，求点T的坐标。

解：（1）依条件

所以椭圆C的标准方程为

（2）设，，，又设中点为

（i）因为，所以直线的方程为：

所以

于是，

所以。因为

所以，，三点共线

即OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）

（ii），

所以，令（）

则（当且仅当时取“”）

所以当最小时，即或，此时点T的坐标为或

21．已知函数，其中，为自然对数的底数。

（1）设是函数的导函数，求函数在区间上的最小值；

（2）若，函数在区间内有零点，求的取值范围

解：（1）因为 所以 又

因为， 所以：

①若，则，，

所以函数在区间上单增，

②若，则，

于是当时，当时，

所以函数在区间上单减，在区间上单增，

③若，则，

所以函数在区间上单减，

综上：在区间上的最小值为

（2）由，又

若函数在区间内有零点，则函数在区间内至少有三个单调区间

由（1）知当或时，函数即在区间上单调，不可能满足“函数在区间内至少有三个单调区间”这一要求。

若，则

令（）

则。由

所以在区间上单增，在区间上单减

即恒成立

于是，函数在区间内至少有三个单调区间

又 所以

综上，的取值范围为

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