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2014年高考数学真题附解析(山东卷+理科)

来源:可可英语 编辑:max   VIP免费外教试听课 |  可可官方微信:ikekenet

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

(1)已知是虚数单位,若互为共轭复数,则

(A)(B)(C)(D)

(2)设集合,则

(A)(B)(C)(D)

(3)函数的定义域为

(A)(B)(C)(D)

(4)用反证法证明命题:“已知为实数,则方程至少有一个实根”时,要做的假设是

(A)方程没有实根(B)方程至多有一个实根

(C)方程至多有两个实根(D)方程恰好有两个实根

(5)已知实数满足),则下列关系式恒成立的是

(A)(B)

(C)(D)

(6)直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为

(A)(B)(C)2(D)4

(7)为研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验,所有志愿者的舒张压数据(单位:)的分组区间为,将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,......,第五组.右图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为

(A)1(B)8(C)12(D)18

(8)已知函数,若有两个不相等的实根,则实数的取值范围是

(A)(B)(C)(D)

(9)已知满足约束条件当目标函数在该约束条件下取到最小值时,的最小值为

(A)5(B)4(C)(D)2

(10)已知,椭圆的方程为,双曲线的方程为的离心率之积为,则的渐近线方程为

(A)(B)(C)(D)


二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分

(11)执行右面的程序框图,若输入的的值为1,则输出的的值为__________ .

(12)在中,已知,当时,的面积为__________ .

(13)三棱锥中,分别为的中点,记三棱锥的体积为的体积为,则__________ .

(14)若的展开式中项的系数为20,则的最小值为 __________ .

(15)已知函数.对函数,定义关于的“对称函数”为满足:对任意,两个点关于点对称.若关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是 __________.


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三、解答题:本大题共6小题,共75分.

(16)(本小题满分12分)

已知向量,设函数,且的图象过点和点.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)将的图象向左平移)个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1,求的单调增区间.

(17)(本小题满分12分)

如图,在四棱柱中,底面是等腰梯形,是线段的中点.

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)若垂直于平面,求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值.

(18)(本小题满分12分)

乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图,

甲上有两个不相交的区域,乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在上记3分,在上记1分,其它情况记0分.对落点在上的来球,小明回球的落点在上的概率为,在上的概率为;对落点在上的来球,小明回球的落点在上的概率为,在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次,小明的两次回球互不影响.求:

(Ⅰ)小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;

(Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和的分布列与数学期望.

(19)(本小题满分12分)

已知等差数列的公差为2,前项和为,且成等比数列.
(Ⅰ)求数列的通项公式;

(Ⅱ)令,求数列的前项和.

(20)(本小题满分13分)

设函数为常数,是自然对数的底数).

(Ⅰ)当时,求函数的单调区间;

(Ⅱ)若函数内存在两个极值点,求的取值范围.

(21)(本小题满分14分)

已知抛物线的焦点为上异于原点的任意一点,过点的直线于另一点,交轴的正半轴于点,且有.当点的横坐标为3时,为正三角形.

(Ⅰ)求的方程;

(Ⅱ)若直线,且有且只有一个公共点

(ⅰ)证明直线过定点,并求出定点坐标;

(ⅱ)的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.


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2014年山东高考数学(理科)试题解析

第Ⅰ卷(共50分)

一、选择题:本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.【答案】D

【解析】互为共轭复数,

2.【答案】C

【解析】

3.【答案】C

【解析】

4.【答案】A

【解析】“至少有一个”的对立面应是“没有”,故选A

5.【答案】D

【解析】但不能判断(如排除A,B;是周期函数,排除C;是单调递增函数,D正确.

6.【答案】D

【解析】联立,且在第一象限,得

所求面积

7.【答案】C

【解析】第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4,

8.【答案】B

【解析】画出的图像,最低点是过原点和时斜率最小为;斜率最大时的斜率与的斜率一致.

9.【答案】B

【解析】联立,得交点坐标,则,即圆心(0,0)到直线的距离的平方.

10.【答案】A

【解析】


第Ⅱ卷(共100分)

二、填空题(每题5分,满分25分,将答案填在答题纸上)

11.【答案】3

【解析】根据判断条件,得

输入

第一次判断后循环,

第二次判断后循环,

第三次判断后循环,

第四次判断不满足条件,结束循环,输出

12.【答案】

【解析】由条件可知

13.【答案】

【解析】分别过向平面PAB做高,由的中点得

的中点得,所以

14.【答案】2

【解析】将展开,得到,令.

,得,所以.

15.【答案】

【解析】由题意得的图像位于直线的两侧,要使恒成立,则的图像应位于直线的右下方.根据图像分析得,当在第二象限相切时,,由恒成立得.


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三.解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.解:(Ⅰ)已知

过点

解得

(Ⅱ)

左移后得到

的对称轴为解得

,解得

的单调增区间为

17.解:(Ⅰ)连接

为四棱柱,

的中点,

,

,

为平行四边形

(Ⅱ)方法一:

,连接

即为所求二面角

中,

中,,

方法二:作

为原点,轴,轴,轴建立空间坐标系,

设平面的法向量为

显然平面的法向量为

.

显然二面角为锐角,

所以平面和平面所成角的余弦值为

18.解:(I)设恰有一次的落点在乙上这一事件为

(II)

0

1

2

3

4

6

.

19.解:(I)

解得

(II)

解:(I)函数的定义域为

可得

所以 当时,,函数单调递减,

时,,函数单调递增,

所以,的单调递减区间为,单调递增区间为.

(II)由(I)知,时,函数内单调递减,

所以内不存在极值点;

时,设函数.

时,当时,单调递增.

所以内不存在两个极值点;

时,得:当时,,函数单调递减,

时,,函数单调递增.

所以函数的最小值为.

函数内存在两个极值点,当且仅当

解得

综上所述,函数内存在两个极值点时,的取值范围为.

解:(I)由题意知.

设,则的中点为

,由抛物线的定义知

解得(舍去)

解得

所以抛物线的方程为.

(II)(i)由(I)知

所以直线AB的斜率

因为直线与直线AB平行,

所以设直线的方程为

代入,得

由题意得

,则.

时,

,整理得

直线AE恒过点

时,直线AE的方程为,过点

所以 直线AE过定点

(ii)由(i)得直线AE过焦点

设直线AE的方程为

因为点在直线AE上,

,直线AB的方程为

代入抛物线方程,得:

所以点B到直线AE的距离为

的面积

当且仅当,即时等号成立.

所以的面积的最小值为16.

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