20.（本小题满分12分）

等比数列{}的前n项和为， 已知对任意的 ，点，均在函数且均为常数)的图像上.

（1）求r的值；

（11）当b=2时，记 求数列的前项和

解:因为对任意的,点，均在函数且均为常数)的图像上.所以得,

当时,,

当时,,

又因为{}为等比数列, 所以, 公比为, 所以

（2）当b=2时，,

则

相减,得

所以

21.（本小题满分12分）

已知函数,其中

（1） 当满足什么条件时,取得极值?

（2） 已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.

解: (1)由已知得,令,得,

要取得极值,方程必须有解,

所以△,即, 此时方程的根为

,,

所以

当时,

所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.

当时,

所以在x 1, x2处分别取得极大值和极小值.

综上,当满足时, 取得极值.

(2)要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.

即恒成立, 所以

设,,

令得或(舍去),

当时,,当时,单调增函数;

当时,单调减函数,

所以当时,取得最大,最大值为.

所以

当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以

综上,当时, ; 当时,

22. （本小题满分14分）

设,在平面直角坐标系中,已知向量,向量,,动点的轨迹为E.

（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;

（2）已知,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且(O为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3)已知,设直线与圆C:(1<R<2)相切于A1,且与轨迹E只有一个公共点B1,当R为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值.

解:（1）因为,,,

所以, 即.

当m=0时,方程表示两直线,方程为;

当时, 方程表示的是圆

当且时,方程表示的是椭圆;

当时,方程表示的是双曲线.

(2).当时, 轨迹E的方程为,设圆心在原点的圆的一条切线为,解方程组得,即,

要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B,

则使△=,

即,即, 且

,

要使, 需使,即,

所以, 即且, 即恒成立.

所以又因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为,, 所求的圆为.

当切线的斜率不存在时,切线为,与交于点或也满足.

综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.

(3)当时,轨迹E的方程为,设直线的方程为,因为直线与圆C:(1<R<2)相切于A1, 由（2）知, 即 ①,

因为与轨迹E只有一个公共点B1,

由（2）知得,

即有唯一解

则△=, 即, ②

由①②得, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点,

由 中,所以,,

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以,所以,

在直角三角形OA1B1中,因为当且仅当时取等号,所以,即

当时|A1B1|取得最大值,最大值为1.

点击此处下载文档(rar格式，209.01KB)