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2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)

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(18)(本小题满分12分)
如图所示,在三棱锥P-ABQ中,PB⊥平面ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F分别是AQ,BQ,AP,BP的中点,AQ=2BD,PD与EQ交于点G,PC与FQ交于点H,连接GH。

2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)


(Ⅰ)求证:AB//GH;
(Ⅱ)求二面角D-GH-E的余弦值 .
解答:(1)因为C、D为中点,所以CD//AB

同理:EF//AB,所以EF//CD,EF2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)平面EFQ,

所以CD//平面EFQ,又CD2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)平面PCD,所以

CD//GH,又AB//CD,所以AB//GH.

(2)由AQ=2BD,D为AQ的中点可得,△ABQ为直角三角形,以B为坐标原点,以BA、BC、BP为x、y、z轴建立空间直角坐标系,设AB=BP=BQ=2,可得平面GCD的一个法向量为2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),平面EFG的一个法向量为2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),可得2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),所以二面角D-GH-E的余弦值为2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)


(19)本小题满分12分
甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)外,其余每局比赛甲队获胜的概率是2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科) .假设每局比赛结果互相独立.
 (1)分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率
(2)若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分,对方得0分;若比赛结果为

3:2,则胜利方得2分、对方得1分,求乙队得分x的分布列及数学期望.

解答:(1)2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)


(2)由题意可知X的可能取值为:3,2,1,0

相应的概率依次为:2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),所以EX=2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)
(20)(本小题满分12分)
设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S4=4S2,a2n=2an+1
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 设数列{bn}的前n项和Tn,且Tn+2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科) = λ(λ为常数),令cn=b2n,(n∈N•).求数列{cn}的前n项和Rn.
解答:(1)由S4=4S2,a2n=2an+1,{an}为等差数列,可得,2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)

所以2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)

(2)由Tn+2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科) = λ可得,2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),Tn-1+2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科) = λ两式相减可得,当2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)时,2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),所以当2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)时,cn=b2n=2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),错位相减法可得,Rn=2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)

2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)时,cn=b2n=2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),可得Rn=2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)


(21)(本小题满分13分)  

设函数2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)是自然对数的底数,2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科).

(1)求2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)的单调区间,最大值;

(2)讨论关于x的方程2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)根的个数.

解答:(1)2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),令2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)得,2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)

2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)

2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)所以当2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)时,函数取得最的最大值

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(2)由(1)知,f(x)先增后减,即从负无穷增大到2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),然后递减到c,而函数|lnx|是(0,1)时由正无穷递减到0,然后又逐渐增大。

故令f(1)=0得,2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)

所以当2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)时,方程有两个根;

2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)时,方程有一两个根;

2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)时,方程有无两个根.


(22)(本小题满分13分)
椭圆C:2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,离心率为 2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1、PF2,设∠F1PF2的角平分线
PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点p作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只有一个公共点, 设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)为定值,并求出这个定值.

解答:(1)由已知得,2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),解得2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)

所以椭圆方程为:2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)

(2)由题意可知:2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)=2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)=2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),设2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)其中2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),将向量坐标代入并化简得:m(2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),因为2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)

所以2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),而2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),所以2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)

(3)由题意可知,l为椭圆的在p点处的切线,由导数法可求得,切线方程为:

2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),所以2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),而2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科),代入2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)中得:

2013年高考数学真题附解析(山东卷+理科)为定值.

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