20、(本小题满分16分)设M为部分正整数组成的集合,数列的首项,前n项和为,已知对任意整数k属于M,当n>k时,都成立。
(1)设M={1},,求的值;(2)设M={3,4},求数列的通项公式。
解析:(1)即:
所以,n>1时,成等差,而,
(2)由题意:,
当时,由(1)(2)得:
由(3)(4)得:
由(1)(3)得:
由(2)(4)得:
由(7)(8)知:成等差,成等差;设公差分别为:
由(5)(6)得:
由(9)(10)得:成等差,设公差为d,
在(1)(2)中分别取n=4,n=5得:
数学II(附加题)
21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在答题卡指定区域内作答,若多做,则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A. 选修4-1:几何证明选讲(本小题满分10分)
如图,圆与圆内切于点,其半径分别为与,
圆的弦交圆于点(不在上),
求证:为定值。
证明:由弦切角定理可得
B. 选修4-2:矩阵与变换(本小题满分10分)
已知矩阵,向量,求向量,使得.
设,由得:,
C.选修4-4:坐标系与参数方程(本小题满分10分)
在平面直角坐标系中,求过椭圆(为参数)的右焦点且与直线(为参数)平行的直线的普通方程。
解析:椭圆的普通方程为右焦点为(4,0),直线(为参数)的普通方程为,斜率为:;所求直线方程为:
D.选修4-5:不等式选讲(本小题满分10分)
解不等式:
解析:原不等式等价于:,解集为
【必做题】第22题、第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出
文字说明、证明过程或演算步骤。
22. (本小题满分10分)
如图,在正四棱柱中,,点是的中点,点在上,设二面角的大小为。
(1)当时,求的长;
(2)当时,求的长。
解析:以D为原点,DA为x轴正半轴,DC为y轴正半轴,DD1为z轴正半轴,
建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),A1(1,0,2),N(,1,0),C(0,1,0) ),设M(0,1,z),
面MDN的法向量,
设面A1DN的法向量为,则
取即
(1)由题意:取
(2)由题意:即取
23.(本小题满分10分)
设整数,是平面直角坐标系中的点,其中
(1)记为满足的点的个数,求;
(2)记为满足是整数的点的个数,求
解析:(1)因为满足的每一组解构成一个点P,所以。
(2)设,则
对每一个k对应的解数为:n-3k,解数一共有: