22．（5分）（2013•北京）阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．

小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）

请回答：

（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为　a2　；

（2）求正方形MNPQ的面积．

（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为　　．

考点： 四边形综合题

分析： （1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，其拼成的正方形面积为a2；

（2）如题图2所示，正方形MNPQ的面积等于四个虚线小等腰直角三角形的面积之和，据此求出正方形MNPQ的面积；

（3）参照小明的解题思路，对问题做同样的等积变换．如答图1所示，三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和等于等边三角形△ABC的面积，故阴影三角形△PQR的面积等于三个虚线等腰三角形的面积之和．据此列方程求出AD的长度．

解答： 解：（1）四个等腰直角三角形的斜边长为a，则斜边上的高为a，

每个等腰直角三角形的面积为：a•a=a2，

则拼成的新正方形面积为：4×a2=a2，即与原正方形ABCD面积相等．

故填空答案为：a2．

（2）∵四个等腰直角三角形的面积和为a2，正方形ABCD的面积为a2，

∴S正方形MNPQ=S△ARE+S△DWH+S△GCT+S△SBF=4S△ARE=4××12=2．

（3）如答图1所示，分别延长RD，QF，PE交FA，EC，DB的延长线于点S，T，W．

由题意易得：△RSF，△QEF，△PDW均为底角是30°的等腰三角形，其底边长均等于△ABC的边长．

不妨设等边三角形边长为a，则SF=AC=a．

如答图2所示，过点R作RM⊥SF于点M，则MF=SF=a，

在Rt△RMF中，RM=MF•tan30°=a×=a，

∴S△RSF=a•a=a2．

过点A作AN⊥SD于点N，设AD=AS=x，同理可求得：S△ADS=x2．

∵三个等腰三角形△RSF，△QEF，△PDW的面积和=3S△RSF=3×a2=a2，

正△ABC的面积为a2，

∴S△RPQ=S△ADS+S△CFT+S△BEW=3S△ADS，

∴=3×x2，解得x=或x=（不合题意，舍去）

∴x=，即AD的长为．

故填空答案为：．

点评： 本题考查了几何图形的等积变换，涉及正方形、等腰直角三角形、等腰三角形、正三角形、解直角三角形等多个知识点，是一道好题．通过本题我们可以体会到，运用等积变换的数学思想，不仅简化了几何计算，而且形象直观，易于理解，体现了数学的魅力．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）

23．（7分）（2013•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．

（1）求点A，B的坐标；

（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；

（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．

考点： 二次函数的性质；一次函数图象与几何变换；二次函数图象上点的坐标特征．

分析： （1）令x=0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标；

（2）求出点A关于对称轴的对称点（2，﹣2），然后设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；

（3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式．

解答： 解：（1）当x=0时，y=﹣2，

∴A（0，﹣2），

抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，

∴B（1，0）；

（2）易得A点关于对称轴直线x=1的对称点A′（2，﹣2），

则直线l经过A′、B，

设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），

则，

解得，

所以，直线l的解析式为y=﹣2x+2；

（3）∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴抛物线在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，

结合图象可以观察到抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，在﹣1＜x＜0这一段位于直线l的下方，

∴抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，

当x=﹣1时，y=﹣2×（﹣1）+2=4，

所以，抛物线过点（﹣1，4），

当x=﹣1时，m+2m﹣2=4，

解得m=2，

∴抛物线的解析式为y=2x2﹣4x﹣2．

点评： 本题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，第（3）小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（﹣1，4）是解题的关键．

24．（7分）（2013•北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．

（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；

（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；

（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．

考点： 全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；旋转的性质

分析： （1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；

（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC=BD，∠DBC=60°，求出∠ABD=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，求出∠BEC=α=∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB=BE即可；

（3）求出∠DCE=90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC=CE=BC，求出∠EBC=15°，得出方程30°﹣α=15°，求出即可．

解答： 解：（1）∵AB=AC，∠A=α，

∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=90°﹣α，

∵∠ABD=∠ABC﹣∠DBC，∠DBC=60°，

即∠ABD=30°﹣α；

（2）△ABE是等边三角形，

证明：连接AD，CD，ED，

∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，

则BC=BD，∠DBC=60°，

∵∠ABE=60°，

∴∠ABD=60°﹣∠DBE=∠EBC=30°﹣α，且△BCD为等边三角形，

在△ABD与△ACD中

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，

∵∠BCE=150°，

∴∠BEC=180°﹣（30°﹣α）﹣150°=α=∠BAD，

在△ABD和△EBC中

∴△ABD≌△EBC，

∴AB=BE，

∴△ABE是等边三角形；

（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，

∴∠DCE=150°﹣60°=90°，

∵∠DEC=45°，

∴△DEC为等腰直角三角形，

∴DC=CE=BC，

∵∠BCE=150°，

∴∠EBC=（180°﹣150°）=15°，

∵∠EBC=30°﹣α=15°，

∴α=30°．

点评： 本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．

25．（8分）（2013•北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，﹣2），F（2，0）．

（1）当⊙O的半径为1时，

①在点D、E、F中，⊙O的关联点是　D，E　．

②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．

考点： 圆的综合题．

分析： （1）①根据关联点的定义得出E点是⊙O的关联点，进而得出F、D，与⊙O的关系；

②若P要刚好是⊙C的关联点，需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，进而得出PC的长，进而得出点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r，再考虑临界点位置的P点，进而得出m的取值范围；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；再考虑临界情况，即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，即可得出圆的半径r的取值范围．

解答： 解：（1）①如图1所示，过点E作⊙O的切线设切点为R，

∵⊙O的半径为1，∴RO=1，

∵EO=2，

∴∠OER=30°，

根据切线长定理得出⊙O的左侧还有一个切点，使得组成的角等于30°，

∴E点是⊙O的关联点，

∵D（，），E（0，﹣2），F（2，0），

∴OF＞EO，DO＜EO，

∴D点一定是⊙O的关联点，而在⊙O上不可能找到两点使得组成的角度等于60°，

故在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E；

故答案为：D，E；

②由题意可知，若P要刚好是⊙C的关联点，

需要点P到⊙C的两条切线PA和PB之间所夹的角为60°，

由图2可知∠APB=60°，则∠CPB=30°，

连接BC，则PC==2BC=2r，

∴若P点为⊙C的关联点，则需点P到圆心的距离d满足0≤d≤2r；

由上述证明可知，考虑临界点位置的P点，

如图3，点P到原点的距离OP=2×1=2，

过点O作x轴的垂线OH，垂足为H，tan∠OGF===，

∴∠OGF=60°，

∴OH=OGsin60°=；

sin∠OPH==，

∴∠OPH=60°，

可得点P1与点G重合，

过点P2作P2M⊥x轴于点M，

可得∠P2OM=30°，

∴OM=OP2cos30°=，

从而若点P为⊙O的关联点，则P点必在线段P1P2上，

∴0≤m≤；

（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小，则这个圆的圆心应在线段EF的中点；

考虑临界情况，如图4，

即恰好E、F点为⊙K的关联时，则KF=2KN=EF=2，

此时，r=1，

故若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径r的取值范围为r≥1．

点评： 此题主要考查了圆的综合应用以及切线判定与性质以及锐角三角函数关系和新概念等知识，注意临界点位置的应用是解题关键．

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