22.(3分+5分+8分)如图,已知曲线,曲线
,P是平面上一点,若存在过点P的直线与
都有公共点,则称P为“C1—C2型点”.
(1)在正确证明的左焦点是“C1—C2型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的方程(不要求验证);
(2)设直线与
有公共点,求证
,进而证明原点不是“C1—C2型点”;
(3)求证:圆内的点都不是“C1—C2型点”.
【解答】:(1)C1的左焦点为,过F的直线
与C1交于
,与C2交于
,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为
;
(2)直线与C2有交点,则
,若方程组有解,则必须
;
直线与C2有交点,则
,若方程组有解,则必须
故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”。
(3)显然过圆内一点的直线
若与曲线C1有交点,则斜率必存在;
根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点
,则
直线与圆
内部有交点,故
化简得,。。。。。。。。。。。。①
若直线与曲线C1有交点,则
化简得,。。。。。②
由①②得,
但此时,因为,即①式不成立;
当时,①式也不成立
综上,直线若与圆
内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点,
即圆内的点都不是“C1-C2型点” .
23.(3 分+6分+9分)给定常数,定义函数
,数列
满足
.
(1)若,求
及
;(2)求证:对任意
,;
(3)是否存在,使得
成等差数列?若存在,求出所有这样的
,若不存在,说明理由.
【解答】:(1)因为,
,故
,
(2)要证明原命题,只需证明对任意
都成立,
即只需证明
若,显然有
成立;
若,则
显然成立
综上,恒成立,即对任意的
,
(3)由(2)知,若为等差数列,则公差
,故n无限增大时,总有
此时,
即
故,
即,
当时,等式成立,且
时,
,此时
为等差数列,满足题意;
若,则
,
此时,也满足题意;
综上,满足题意的的取值范围是
.