三、解答题（本大题共7小题，共64分，解得要写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）

18．（9分）（2013•莱芜）先化简，再求值：，其中a=+2．

考点： 分式的化简求值．

专题： 计算题．

分析： 先计算括号里面的，再将除法转化为乘法，然后代入求值．

解答： 解：

=

=

=．

当a=时，原式=．

点评： 本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及分式的除法是解题的关键．

19．（8分）（2013•莱芜）在学校开展的“学习交通安全知识，争做文明中学生”主题活动月中，学校德工处随机选取了该校部分学生，对闯红灯情况进行了一次调查，调查结果有三种情况：A．从不闯红灯；B．偶尔闯红灯；C经常闯红灯．德工处将调查的数据进行了整理，并绘制了尚不完整的统计图如下，请根据相关信息，解答下列问题．

（1）求本次活动共调查了多少名学生；

（2）请补全（图二），并求（图一）中B区域的圆心角的度数；

（3）若该校有240名学生，请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数．

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．

分析： （1）根据总数=频数÷百分比，可得共调查的学生数；

（2）B区域的学生数=总数减去A、C区域的人数即可；再根据百分比=频数÷总数计算可得最喜爱甲类图书的人数所占百分比，从而求出B区域的圆心角的度数；

（3）用总人数乘以样本的概率即可解答．

解答： 解：（1）（名）．

故本次活动共调查了200名学生．

（2）补全图二，

200﹣120﹣20=60（名）．

．

故B区域的圆心角的度数是108°．

（3）（人）．

故估计该校不严格遵守信号等指示的人数为960人．

点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

20．（9分）（2013•莱芜）如图，有一艘渔船在捕鱼作业时出现故障，急需抢修，调度中心通知附近两个小岛A、B上的观测点进行观测，从A岛测得渔船在南偏东37°方向C处，B岛在南偏东66°方向，从B岛测得渔船在正西方向，已知两个小岛间的距离是72海里，A岛上维修船的速度为每小时20海里，B岛上维修船的速度为每小时28.8海里，为及时赶到维修，问调度中心应该派遣哪个岛上的维修船？

（参考数据：cos37°≈0.8，sin37°≈0.6，sin66°≈0.9，cos66°≈0.4）

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．

分析： 作AD⊥BC的延长线于点D，先解Rt△ADB，求出AD，BD，再解Rt△ADC，求出AC，CD，则BC=BD﹣CD．然后分别求出A岛、B岛上维修船需要的时间，则派遣用时较少的岛上的维修船．

解答： 解：作AD⊥BC的延长线于点D．

在Rt△ADB中，AD=AB•cos∠BAD=72×cos66°=72×0.4=28.8（海里），

BD=AB•sin∠BAD=72×sin66°=72×0.9=64.8（海里）．

在Rt△ADC中，（海里），

CD=AC•sin∠CAD=36×sin37°=36×0.6=21.6（海里）．

BC=BD﹣CD=64.8﹣21.6=43.2（海里）．

A岛上维修船需要时间（小时）．

B岛上维修船需要时间（小时）．

∵tA＜tB，

∴调度中心应该派遣B岛上的维修船．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，通过作辅助线，构造直角三角形，进而解直角三角形求出BD与CD的值是解题的关键．

21．（9分）（2013•莱芜）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC为一边向外作等边三角形ACD，点E为AB的中点，连结DE．

（1）证明DE∥CB；

（2）探索AC与AB满足怎样的数量关系时，四边形DCBE是平行四边形．

考点： 平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．

分析： （1）首先连接CE，根据直角三角形的性质可得CE=AB=AE，再根据等边三角形的性质可得AD=CD，然后证明△ADE≌△CDE，进而得到∠ADE=∠CDE=30°，再有∠DCB=150°可证明DE∥CB；

（2）当AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°进而得到∠B=30°，再根据三角函数可推出AC=或AB=2AC．

解答： （1）证明：连结CE．

∵点E为Rt△ACB的斜边AB的中点，

∴CE=AB=AE．

∵△ACD是等边三角形，

∴AD=CD．

在△ADE与△CDE中，，

∴△ADE≌△CDE（SSS），

∴∠ADE=∠CDE=30°．

∵∠DCB=150°，

∴∠EDC+∠DCB=180°．

∴DE∥CB．

（2）解：∵∠DCB=150°，若四边形DCBE是平行四边形，则DC∥BE，∠DCB+∠B=180°．

∴∠B=30°．

在Rt△ACB中，sinB=，sin30°=，AC=或AB=2AC．

∴当AC=或AB=2AC时，四边形DCBE是平行四边形．

点评： 此题主要考查了平行线的判定、全等三角形的判定与性质，以及平行四边形的判定，关键是掌握直角三角形的性质，以及等边三角形的性质．

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