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2014年高考数学真题附答案(理科+上海卷)
三．解答题（本大题共5题，满分74分）
19、（本题满分12分）
底面边长为2的正三棱锥
,其表面展开图是三角形
，如图，求△的各边长及此三棱锥的体积
.
（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分1分。
设常数
，函数
若
=4，求函数
的反函数
；
根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由.
（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.
如图，某公司要在
两地连线上的定点
处建造广告牌
，其中
为顶端，
长35米，
长80米，设在同一水平面上，从
和
看的仰角分别为
.
设计中是铅垂方向，若要求
，问的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
施工完成后.与铅垂方向有偏差，现在实测得
求的长（结果精确到0.01米）？
22（本题满分16分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分，第3小题满分8分.
在平面直角坐标系
中，对于直线
：
和点
记
若
<0，则称点
被直线分隔。若曲线C与直线没有公共点，且曲线C上存在点
被直线分隔，则称直线为曲线C的一条分隔线.
⑴ 求证：点
被直线
分隔；
⑵若直线
是曲线
的分隔线，求实数
的取值范围；
⑶动点M到点
的距离与到
轴的距离之积为1，设点M的轨迹为E，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分割线.
（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分.
已知数列
满足
.
若
，求
的取值范围；
若是公比为
等比数列，
，
求的取值范围；
若
成等差数列，且
，求正整数
的最大值，以及取最大值时相应数列的公差.
19.解：∵由题得，三棱锥
是正三棱锥
∴侧棱与底边所成角相同且底面
是边长为2的正三角形
∴由题得，
，
又∵
三点恰好在
构成的
的三条边上
∴
∴
∴
，三棱锥是边长为2的正四面体
∴如右图所示作图，设顶点
在底面
内的投影为
，连接
，并延长交
于
∴为中点，为的重心，
底面
∴
，
，
解：（1）由题得，
∴
，
∵
且
∴①当
时，
，
∴对任意的
都有
，∴为偶函数
②当
时，
，
，
∴对任意的
且都有
，∴为奇函数
③当
且
时，定义域为
，
∴定义域不关于原定对称，∴为非奇非偶函数
解：（1）由题得，∵，且
，
即
，解得，
，∴
米
由题得，
，
∵
，∴
米
∵
，∴
米
证明：（1）由题得，
，∴
被直线分隔。
解：（2）由题得，直线
与曲线
无交点
即
无解
∴
或
，∴
证明：（理科）（3）由题得，设
，∴
，
化简得，点
的轨迹方程为
。
①当过原点的直线斜率存在时，设方程为。
联立方程，
。
令
，
，显然
是开口朝上的二次函数
∴由二次函数与幂函数的图像可得，
必定有解，不符合题意，舍去
②当过原点的直线斜率不存在时，其方程为
。
显然与曲线没有交点，在曲线
上找两点
。
∴
，符合题意
综上所述，仅存在一条直线是的分割线。
证明：（文科）（3）由题得，设，∴，
化简得，点的轨迹方程为。
显然与曲线没有交点，在曲线上找两点。
∴，符合题意。∴是的分割线。
解：（1）由题得，
（理科）（2）由题得，∵
，且数列
是等比数列，
，
∴
，∴
，∴
。
又∵
，∴当
时，
对
恒成立，满足题意。
当
时，
∴①当
时，
，由单调性可得，
，解得，
②当
时，
，由单调性可得，
，解得，
（理科）（3）由题得，∵，且数列
成等差数列，，
∴
，∴
，∴
又∵
，∴
∴
，∴
，解得，
，
∴的最大值为1999，此时公差为
