三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。
(15)(本小题共13分)
已知函数(Ⅰ)求的最小正周期;(Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值。
【解析】:(Ⅰ)因为
所以的最小正周期为
(Ⅱ)因为于是,当时,取得最大值2;当取得最小值—1.
(16)(本小题共13分)
以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示.
(Ⅰ)如果X=8,求乙组同学植树棵数的平均数和方差;(Ⅱ)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率。(注:方差其中为,,的平均数)
【解析】:(Ⅰ)当X=8时,由茎叶图可知,乙组同学的植树棵数是:8,8,9,10,
所以平均数为
方差为
(Ⅱ)记甲组四名同学为A1,A2,A3,A4,他们植树的棵数依次为9,9,11,11;乙组四名同学为B1,B2,B3,B4,他们植树的棵数依次为9,8,9,10,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,所有可能的结果有16个,它们是:(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A1,B4),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(A2,B4),(A3,B1),(A2,B2),(A3,B3),(A1,B4),(A4,B1),(A4,B2),(A4,B3),(A4,B4),用C表示:“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件,则C中的结果有4个,它们是:(A1,B4),(A2,B4),(A3,B2),(A4,B2),故所求概率为
(17)(本小题共14分) 如图,在四面体中,点分别是棱的中点。(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求证:四边形为矩形;(Ⅲ )是否存在点,到四面体六条棱的中点 的距离相等?说明理由。
【解析】:证明:(Ⅰ)因为D,E分别为AP,AC的中点,所以DE//PC。又因为DE平面BCP,所以DE//平面BCP。
(Ⅱ)因为D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点,
所以DE//PC//FG,DG//AB//EF。所以四边形DEFG为平行四边形,
又因为PC⊥AB,所以DE⊥DG,所以四边形DEFG为矩形。
(Ⅲ)存在点Q满足条件,理由如下:连接DF,EG,设Q为EG的中点
由(Ⅱ)知,DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QG=EG.
分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN。
与(Ⅱ)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线点为EG的中点Q,
且QM=QN=EG,所以Q为满足条件的点.
(18)(本小题共13分) 已知函数。(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)求在区间上的最小值。
【解析】:(Ⅰ)令,得.与的情况如下:
x | () | ( | |
— | 0 | + | |
↗ | ↗ |
所以,的单调递减区间是();单调递增区间是
(Ⅱ)当,即时,函数在[0,1]上单调递增,所以(x)在区间[0,1]上的最小值为当时,由(Ⅰ)知上单调递减,在上单调递增,所以在区间[0,1]上的最小值为;当时,函数在[0,1]上单调递减,所以在区间[0,1]上的最小值为
(19)(本小题共14分) 已知椭圆的离心率为,右焦点为。斜率为1的直线与椭圆交于两点,以为底边作等腰三角形,顶点为。(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)求的面积。
【解析】:(Ⅰ)由已知得解得又
所以椭圆G的方程为
(Ⅱ)设直线l的方程为由得设A、B的坐标分别为AB中点为E,则因为AB是等腰△PAB的底边,所以PE⊥AB.所以PE的斜率解得m=2。此时方程①为解得所以所以|AB|=.此时,点P(—3,2)到直线AB:的距离所以△PAB的面积S=
(20)(本小题共13分)
若数列满足 ,则称为数列。记。(Ⅰ)写出一个数列满足;(Ⅱ)若,证明:数列是递增数列的充要条件是;(Ⅲ)在的数列中,求使得成立的的最小值。