三、解答题（共66分．解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）

19．（6分）（2014•德阳）计算：﹣25+（）﹣1﹣|﹣8|+2cos60°．

考点： 实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．

专题： 计算题．

分析： 原式第一项利用乘方的意义化简，第二项利用负指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．

解答： 解：原式=﹣32+2﹣4+1=﹣33．

点评： 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

20．（11分）（2014•德阳）为增强环境保护意识，争创“文明卫生城市”，某企业对职工进行了依次“生产和居住环境满意度”的调查，按年龄分组，得到下面的各组人数统计表：

各组人数统计表

（1）求本次调查的样本容量及表中的a、b的值；

（2）调查结果得到对生产和居住环境满意的人数的频率分布直方图如图，政策规定：本次调查满意人数超过调查人数的一半，则称调查结果为满意．如果第一组满意人数为36，请问此次调查结果是否满意；并指出第五组满意人数的百分比；

（3）从第二张和第四组对生产和居住环境满意的职工中分别抽取3人和2人作义务宣传员，在这5人中随机抽取2人介绍经验，求第二组和第四组恰好各有1人被抽中介绍经验的概率．

考点： 频数（率）分布直方图；频数（率）分布表；列表法与树状图法．

分析： （1）根据第一组的人数是50，频率是0.05即可求得总人数，则根据频率公式即可求得a、b的值；

（2）根据第一组的频数是36人，频率是0.06据此即可求得调查的总人数，则满意度即可求得；

（3）用A表示从第二组抽取的人，用B表示从第四组抽取的人，利用列举法即可求解．

解答： 解：（1）调查的总人数：50÷0.05=1000（人），

则a=1000×0.35=350，

b==0.2；

（2）满意的总人数是：36÷0.06=600（人），

则调查的满意率是：=0.6，则此次调查结果为满意；

第五组的满意的人数是：600×0.16=96（人），

则第五组的满意率是：×100%=96%；

（3）用A表示从第二组抽取的人，用B表示从第四组抽取的人．

，

总共有20种情况，则第二组和第四组恰好各有1人被抽中的概率是：=．

点评： 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

21．（10分）（2014•德阳）如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y=（x＞0）的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D．

（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；

（2）若过点D的直线y=mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线的解析式．

考点： 矩形的性质；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式．

分析： （1）根据中心对称求出点E的坐标，再代入反比例函数解析式求出k，然后根据点D的纵坐标与点B的纵坐标相等代入求解即可得到点D的坐标；

（2）设直线与x轴的交点为F，根据点D的坐标求出CD，再根据梯形的面积分两种情况求出OF的长，然后写出点F的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式求出直线解析式即可．

解答： 解：（1）∵矩形OABC的顶点B的坐标是（4，2），E是矩形ABCD的对称中心，

∴点E的坐标为（2，1），

代入反比例函数解析式得，=1，

解得k=2，

∴反比例函数解析式为y=，

∵点D在边BC上，

∴点D的纵坐标为2，

∴y=2时，=2，

解得x=1，

∴点D的坐标为（1，2）；

（2）如图，设直线与x轴的交点为F，

矩形OABC的面积=4×2=8，

∵矩形OABC的面积分成3：5的两部分，

∴梯形OFDC的面积为×8=3，

或×8=5，

∵点D的坐标为（1，2），

∴若（1+OF）×2=3，

解得OF=2，

此时点F的坐标为（2，0），

若（1+OF）×2=5，

解得OF=4，

此时点F的坐标为（4，0），与点A重合，

当D（1，2），F（2，0）时，，

解得，

此时，直线解析式为y=﹣2x+4，

当D（1，2），F（4，0）时，，

解得，

此时，直线解析式为y=﹣x+，

综上所述，直线的解析式为y=﹣2x+4或y=﹣x+．

点评： 本题考查了矩形的性质，待定系数法求反比例函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，（1）根据中心对称求出点E的坐标是解题的关键，（2）难点在于要分情况讨论．

22．（11分）（2014•德阳）为落实国家“三农”政策，某地政府组织40辆汽车装运A、B、C三种农产品共200吨到外地销售，按计划，40辆车都要装运，每辆车只能装运同一种农产品，且必须装满，根据下表提供的信息，解答下列问题：

（1）如果装运C种农产品需13辆汽车，那么装运A、B两种农产品各需多少辆汽车？

（2）如果装运每种农产品至少需要11辆汽车，那么车辆的装运方案有几种？写出每种装运方案．

考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．

分析： （1）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．等量关系：40辆车都要装运，A、B、C三种农产品共200吨；

（2）关系式为：装运每种农产品的车辆数≥11．

解答： 解：（1）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．则

，

解得．

答：装运A、B两种农产品各需13、14辆汽车；

（2）设装运A、B两种农产品各需x、y辆汽车．则

4x+5y+6（40﹣x﹣y）=200，

解得：y=﹣2x+40．

由题意可得如下不等式组：，即，

解得：11≤x≤14.5

因为x是正整数，

所以x的值可为11，12，13，14；共4个值，因而有四种安排方案．

方案一：11车装运A，18车装运B，11车装运C

方案二：12车装运A，16车装运B，12车装运C．

方案三：13车装运A，14车装运B，13车装运C．

方案四：14车装运A，12车装运B，14车装运C．

点评： 本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是读懂题意，根据关键描述语，找到所求量的等量关系，确定x的范围，得到装载的几种方案是解决本题的关键．

23．（14分）（2014•德阳）如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，已知AB=4，⊙O的半径为．

（1）分别求出线段AP、CB的长；

（2）如果OE=5，求证：DE是⊙O的切线；

（3）如果tan∠E=，求DE的长．

考点： 切线的判定．

专题： 证明题．

分析： （1）根据圆周角定理由AC为直径得∠ABC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理可计算出BC=2，再根据垂径定理由直径FG⊥AB得到AP=BP=AB=2；

（2）易得OP为△ABC的中位线，则OP=BC=1，再计算出==，根据相似三角形的判定方法得到△EOC∽△AOP，根据相似的性质得到∠OCE=∠OPA=90°，然后根据切线的判定定理得到DE是⊙O的切线；

（3）根据平行线的性质由BC∥EP得到∠DCB=∠E，则tan∠DCB=tan∠E=，在Rt△BCD中，根据正切的定义计算出BD=3，根据勾股定理计算出CD=，然后根据平行线分线段成比例定理得=，再利用比例性质可计算出DE=．

解答： （1）解：∵AC为直径，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC中，AC=2，AB=4，

∴BC==2，

∵直径FG⊥AB，

∴AP=BP=AB=2；

（2）证明：∵AP=BP，

∴OP为△ABC的中位线，

∴OP=BC=1，

∴=，

而==，

∴=，

∵∠EOC=∠AOP，

∴△EOC∽△AOP，

∴∠OCE=∠OPA=90°，

∴OC⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（3）解：∵BC∥EP，

∴∠DCB=∠E，

∴tan∠DCB=tan∠E=

在Rt△BCD中，BC=2，tan∠DCB==，

∴BD=3，

∴CD==，

∵BC∥EP，

∴=，即=，

∴DE=．

点评： 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理和相似三角形的判定与性质．

24．（14分）（2014•德阳）如图，已知抛物线经过点A（﹣2，0）、B（4，0）、C（0，﹣8）．

（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；

（2）直线CD交x轴于点E，过抛物线上在对称轴的右边的点P，作y轴的平行线交x轴于点F，交直线CD于M，使PM=EF，请求出点P的坐标；

（3）将抛物线沿对称轴平移，要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，那么抛物线向上最多平移多少个单位长度，向下最多平移多少个单位长度．

考点： 二次函数综合题；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．

专题： 综合题．

分析： （1）由于抛物线与x轴的两个交点已知，抛物线的解析式可设成交点式：y=a（x+2）（x﹣4），然后将点C的坐标代入就可求出抛物线的解析式，再将该解析式配成顶点式，即可得到顶点坐标．

（2）先求出直线CD的解析式，再求出点E的坐标，然后设点P的坐标为（m，n），从而可以用m的代数式表示出PM、EF，然后根据PM=EF建立方程，就可求出m，进而求出点P的坐标．

（3）先求出点M的坐标，然后设平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8+c，然后只需考虑三个临界位置（①向上平移到与直线EM相切的位置，②向下平移到经过点M的位置，③向下平移到经过点E的位置）所对应的c的值，就可以解决问题．

解答： 解：（1）根据题意可设抛物线的解析式为y=a（x+2）（x﹣4）．

∵点C（0，﹣8）在抛物线y=a（x+2）（x﹣4）上，

∴﹣8a=﹣8．

∴a=1．

∴y=（x+2）（x﹣4）

=x2﹣2x﹣8

=（x﹣1）2﹣9．

∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8，顶点D的坐标为（1，﹣9）．

（2）如图，

设直线CD的解析式为y=kx+b．

∴

解得：．

∴直线CD的解析式为y=﹣x﹣8．

当y=0时，﹣x﹣8=0，

则有x=﹣8．

∴点E的坐标为（﹣8，0）．

设点P的坐标为（m，n），

则PM=（m2﹣2m﹣8）﹣（﹣m﹣8）=m2﹣m，EF=m﹣（﹣8）=m+8．

∵PM=EF，

∴m2﹣m=（m+8）．

整理得：5m2﹣6m﹣8=0．

∴（5m+4）（m﹣2）=0

解得：m1=﹣，m2=2．

∵点P在对称轴x=1的右边，

∴m=2．

此时，n=22﹣2×2﹣8=﹣8．

∴点P的坐标为（2，﹣8）．

（3）当m=2时，y=﹣2﹣8=﹣10．

∴点M的坐标为（2，﹣10）．

设平移后的抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣8+c，

①若抛物线y=x2﹣2x﹣8+c与直线y=﹣x﹣8相切，

则方程x2﹣2x﹣8+c=﹣x﹣8即x2﹣x+c=0有两个相等的实数根．

∴（﹣1）2﹣4×1×c=0．

∴c=．

②若抛物线y=x2﹣2x﹣8+c经过点M，

则有22﹣2×2﹣8+c=﹣10．

∴c=﹣2．

③若抛物线y=x2﹣2x﹣8+c经过点E，

则有（﹣8）2﹣2×（﹣8）﹣8+c=0．

∴c=﹣72．

综上所述：要使抛物线与（2）中的线段EM总有交点，抛物线向上最多平移个单位长度，向下最多平移72个单位长度．

点评： 本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、用待定系数法求一次函数的解析式、解一元二次方程、根的判别式、抛物线与直线的交点问题等知识，而把抛物线与直线相切的问题转化为一元二次方程有两个相等的实数根的问题是解决第三小题的关键，有一定的综合性

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