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18．（7分）（2013•珠海）把分别标有数字2、3、4、5的四个小球放入A袋内，把
分别标有数字
、、
、
、
的五个小球放入B袋内，所有小球的形状、大小、质地完全相同，A、B两个袋子不透明、
（1）小明分别从A、B两个袋子中各摸出一个小球，求这两个小球上的数字互为倒数的概率；
（2）当B袋中标有的小球上的数字变为 
、、
、
时（填写所有结果），（1）中的概率为．
考点： 列表法与树状图法．
分析： （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个小球上的数字互为倒数的情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）由概率为，可得这两个小球上的数字互为倒数的有5种情况，继而可求得答案．
解答： 解：（1）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，这两个小球上的数字互为倒数的有4种情况，
∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为：
=；
（2）∵当B袋中标有
的小球上的数字变为
、
、
、
时（填写所有结果），
∴这两个小球上的数字互为倒数的有5种情况，
∴这两个小球上的数字互为倒数的概率为：
=．
故答案为：、、、
．
点评： 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
19．（7分）（2013•珠海）已知，在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴负半轴上，点B在y轴正半轴上，OA=OB，函数y=
的图象与线段AB交于M点，且AM=BM．
（1）求点M的坐标；
（2）求直线AB的解析式．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
专题： 计算题．
分析： （1）过点M作MC⊥x轴，MD⊥y轴，根据M为AB的中点，MC∥OB，MD∥OA，利用平行线分线段成比例得到点C和点D分别为OA与OB的中点，从而得到MC=MD，设出点M的坐标代入反比例函数解析式中，求出a的值即可得到点M的坐标；
（2）根据（1）中求出的点M的坐标得到MC与MD的长，从而求出OA与OB的长，得到点A与点B的坐标，设出一次函数的解析式，把点A与点B的坐标分别代入解析式中求出k与b的值，确定出直线AB的表达式．
解答： 解：（1）过点M作MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∵AM=BM，
∴点M为AB的中点，
∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∴MC∥OB，MD∥OA，
∴点C和点D分别为OA与OB的中点，
∴MC=MD，
则点M的坐标可以表示为（﹣a，a），
把M（﹣a，a）代入函数y=
中，
解得a=2
，
则点M的坐标为（﹣2，2）；
（2）∵则点M的坐标为（﹣2，2），
∴MC=2
，MD=2，
∴OA=OB=2MC=4，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把点A（﹣4，0）和B（0，4）分别代入y=kx+b中得
，
解得：
．
则直线AB的解析式为y=x+4
．
点评： 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平行线分线段成比例，以及中位线定理，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学
们要熟练掌握这种方法．
五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）
20．（9分）（2013•珠海）阅读下面材料，并解答问题．
材料：将分式
拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b
则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，∴
，∴a=2，b=1
∴
=
=x2+2+
这样，分式
被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和．
解答：
（1）将分式
拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
（2）试说明的最小值为8．
考点： 分式的混合运算．
专题： 阅读型．
分析： （1）由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式
拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；
（2）对于x2+7+
当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，于是求出的最小值．
解答： 解：（1）由分母为﹣
x2+1，可设﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b
则﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）
∵对应任意x，上述等式均成立，
∴
，
∴a=7，b=1，
∴=
=
=x2+7+
这样，分式
被拆分成了一个整式x2+7与一个分式的和．
（2）由
=x2+7+
知，
对于x2+7+当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，
即的最小值为8．
点评： 本题主要考查分式的混合运算等知识点，解答本题的关键是能熟练的理解题意，此题难度不是很大．
21．（9分）（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）求证：AE=CP；
（3）当
，BP′=5
时，求线段AB的长．
考点： 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．
专题： 几何综合题．
分析： （1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；
（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；
（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=
AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．
解答： （1）证明：∵AP′是AP旋转得到，
∴AP=AP′，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠C=90°，AP′⊥AB，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，
又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠ABP；
（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，
，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP；
（3）解：∵
=
，
∴设CP=3k，PE=2k，
则AE=CP=3k，AP′=AP=3k+2k=5k，
在Rt△AEP′中，P′E=
=4k，
∵∠C=90°，P′E⊥AC，
∴∠CBP+∠BPC=90°，∠EP′P+∠P′PE=90°，
∵∠BPC=∠EPP′（对顶角相等），
∴∠CBP=∠P′PE，
又∵∠BAP′=∠P′EP=90°，
∴△ABP′∽△EPP′，
∴
=
，
即
=
，
解得P′A=
AB，
在Rt△ABP′中，AB2+P′A2=BP′2，
即AB2+
AB2=（5
）2，
解得AB=10．
点评： 本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，（2）作辅助线构造出过渡线段DP并得到全等三角形是解题的关键，（3）利用相似三角形对应边成比例求出P′A=AB是解题的关键．
22．（9分）（2013•珠海）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正
半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）．
（1）求抛物线l的
解析式（用含m的式子表示）；
（2）把△OAD沿直线O
D折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围；
（3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，将A、D、M三点的坐标代入，运用待定系数法即可求解；
（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x，则A′M=2m﹣x，OA′=m，在Rt△OA′M中运用勾股定理求出x，得出A′点坐标，运用待定系数法得到直线OA′的解析式，确定E点坐标（4m，﹣3m），根据抛物线l与线段CE相交，列出关于m的不等式组，求出解集即可；
（3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数m的取值范围，即可求解．
解答： 解：（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，
将A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三点的坐标代入，
得
，解得
，
所以抛物线l的解析式为y=﹣x2+2mx+m；
（2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．
∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，
∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO，
∵矩形OABC中，AD∥OC，
∴∠ADO=∠DOM，
∴∠A′DO=∠DOM，
∴DM=OM．
设DM=OM=x，则A′M=2m﹣x，
在Rt△OA′M中，∵OA′2+A′M2=OM2，
∴m2+（2m﹣x）2=x2，
解得x=
m．
∵S△OA′M=
OM•A′N=OA′•A′M，
∴A′N=
=
m，
∴ON=
=
m，
∴A′点坐标为（m，﹣
m），
易求直线OA′的解析式为y=﹣
x，
当x=4m时，y=﹣×4m=﹣3m，
∴E点坐标为（4m，﹣3m）．
当x=4m时，﹣x2+2mx+m=﹣（4m）2+2m•4m+m=﹣8m2+m，
即抛物线l与直线CE的交点为（4m，﹣8m2+m），
∵抛物线l与线段CE相交，
∴﹣3m≤﹣8m2+m≤0，
∵m＞0，
∴﹣3≤﹣8m+1≤0，
解得
≤m≤
；
（3）∵y=﹣x2+2mx+m=﹣（x﹣m）2+m2+m，≤m≤
，
∴当x=m时，y有最大值m2+m，
又∵m2+m=（m+）2﹣
，
∴当
≤m≤时，m2+m随m的增大而增大，
∴当m=时，顶点P到达最高位置，m2+m=（）2+=
，
故此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（，
）．
点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，两个函数交点坐标的求法，二次函数、矩形的性质，解不等式组等知识，综合性较强，有一定难度．（2）中求出A′点的坐标是解题的关键．
