22．（10分）（2013•莱芜）某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动，为此学校准备购置长、短两种跳绳若干．已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元，且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同．

（1）两种跳绳的单价各是多少元？

（2）若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳，且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，问学校有几种购买方案可供选择？

考点： 一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．

专题： 计算题．

分析： （1）设长跳绳的单价是x元，短跳绳的单价为y元，根据长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元；购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同，可得出方程组，解出即可；

（2）设学校购买a条长跳绳，购买资金不超过2000元，短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍，可得出不等式组，解出即可．

解答： 解：（1）设长跳绳的单价是x元，短跳绳的单价为y元．

由题意得：．

解得：．所以长跳绳单价是20元，短跳绳的单价是8元．

（2）设学校购买a条长跳绳，

由题意得：．

解得：．

∵a为正整数，

∴a的整数值为29，3，31，32，33．

所以学校共有5种购买方案可供选择．

点评： 本题考查了一元一次不等式及二元一次方程组的应用，解答本题的关键仔细审题，设出未知数，找到其中的等量关系和不等关系．

23．（10分）（2013•莱芜）如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN．

（1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；

（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；

（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．

考点： 圆的综合题．

分析： （1）根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA进而求出即可；

（2）根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°，进而得出∠PNO=180°﹣90°=90°即可得出答案；

（3）首先根据外角的性质得出∠AON=30°进而利用扇形面积公式得出即可．

解答： （1）PN与⊙O相切．

证明：连接ON，

则∠ONA=∠OAN，

∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．

∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO．

∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°．

即PN与⊙O相切．

（2）成立．

证明：连接ON，

则∠ONA=∠OAN，

∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN．

在Rt△AOM中，

∴∠OMA+∠OAM=90°，

∴∠PNM+∠ONA=90°．

∴∠PNO=180°﹣90°=90°．

即PN与⊙O相切．

（3）解：连接ON，由（2）可知∠ONP=90°．

∵∠AMO=15°，PM=PN，∴∠PNM=15°，∠OPN=30°，

∵∠PON=60°，∠AON=30°．

作NE⊥OD，垂足为点E，

则NE=ON•sin60°=1×=．

S阴影=S△AOC+S扇形AON﹣S△CON=OC•OA+CO•NE

=×1×1+π﹣×1×

=+π﹣．

点评： 此题主要考查了扇形面积公式以及切线的判定等知识，熟练根据切线的判定得出对应角的度数是解题关键．

24．（12分）（2013•莱芜）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（﹣2，1），交y轴于点M．

（1）求抛物线的表达式；

（2）D为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE垂直x轴于点E，交线段AM于点F，求线段DF长度的最大值，并求此时点D的坐标；

（3）抛物线上是否存在一点P，作PN垂直x轴于点N，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）把点A、B、C的坐标分别代入已知抛物线的解析式列出关于系数的三元一次方程组，通过解该方程组即可求得系数的值；

（2）由（1）中的抛物线解析式易求点M的坐标为（0，1）．所以利用待定系数法即可求得直线AM的关系式为y=x+1．由题意设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．易求DF==．根据二次函数最值的求法来求线段DF的最大值；

（3）需要对点P的位置进行分类讨论：点P分别位于第一、二、三、四象限四种情况．此题主要利用相似三角形的对应边成比例进行解答．

解答： 解：由题意可知．解得．

∴抛物线的表达式为y=．

（2）将x=0代入抛物线表达式，得y=1．∴点M的坐标为（0，1）．

设直线MA的表达式为y=kx+b，则．

解得．

∴直线MA的表达式为y=x+1．

设点D的坐标为（），则点F的坐标为（）．

DF=

=．

当时，DF的最大值为．

此时，即点D的坐标为（）．

（3）存在点P，使得以点P、A、N为顶点的三角形与△MAO相似．设P（m，）．

在Rt△MAO中，AO=3MO，要使两个三角形相似，由题意可知，点P不可能在第一象限．

①设点P在第二象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，

∴，即m2+11m+24=0．解得m=﹣3（舍去）或m=﹣8．又﹣3＜m＜0，故此时满足条件的点不存在．

②当点P在第三象限时，∵点P不可能在直线MN上，∴只能PN=3NM，

∴，即m2+11m+24=0．

解得m=﹣3或m=﹣8．此时点P的坐标为（﹣8，﹣15）．

③当点P在第四象限时，若AN=3PN时，则﹣3，即m2+m﹣6=0．

解得m=﹣3（舍去）或m=2．

当m=2时，．此时点P的坐标为（2，﹣）．

若PN=3NA，则﹣，即m2﹣7m﹣30=0．

解得m=﹣3（舍去）或m=10，此时点P的坐标为（10，﹣39）．

综上所述，满足条件的点P的坐标为（﹣8，﹣15）、（2，﹣）、（10，﹣39）．

点评： 本题考查了二次函数综合题．其中涉及到了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质以及二次函数最值的求法．需注意分类讨论，全面考虑点P所在位置的各种情况．

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