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20．（8分）（2013•衢州）如图，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：直线CD是⊙O的切线；
（2）若DE=2BC，求AD：OC的值．
考点： 切线的判定；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
分析： （1）首选连接OD，易证得△COD≌△COB（SAS），然后由全等三角形的对应角相等，求得∠CDO=90°，即可证得直线CD是⊙O的切线；
（2）由△COD≌△COB．可得CD=CB，即可得DE=2CD，易证得△EDA∽△ECO，然后由相似三角形的对应边成比例，求得AD：OC的值．
解答： （1）证明：连结DO．
∵AD∥OC，
∴∠DAO=∠COB，∠ADO=∠COD．…（1分）
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠COD=∠COB．…（2分）
在△COD和△COB中，
，
∴△COD≌△COB（SAS）…（3分）
∴∠CDO=∠CBO=90°．
又∵点D在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．…（4分）
（2）解：∵△COD≌△COB．
∴CD=CB．…（5分）
∵DE=2BC，
∴ED=2CD． …（6分）
∵AD∥OC，
∴△EDA∽△ECO．…（7分）
∴
．…（8分）
点评： 此题考查了切线的判定、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
21．（8分）（2013•衢州）据《2012年衢州市国民经济和社会发展统计公报》（2013年2月5日发布），衢州市固定资产投资的相关数据统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求2012年的固定资产投资增长速度（年增长速度即年增长率）；
（2）求2005﹣2012年固定资产投资增长速度这组数据的中位数；
（3）求2006年的固定资产投资金额，并补全条形图；
（4）如果按照2012年的增长速度，请预测2013年衢州市的固定资产投资金额可达到多少亿元（精确到1亿元）？
考点： 折线统计图；条形统计图；中位数．
分析： （1）根据2012年和2011年投资进而求出增长率即可；
（2）根据中位数的定义，按大小排列后找出最中间的两个求出平均数即可；
（3）设2006年的固定资产投资金额为x亿元，进而得出280﹣x=12%x求出即可；
（4）根据2012年的增长率，得出565×（1+13%）求出即可．
解答： 解：（1）根据题意得出：
×100%=13%；
答：2012年的固定资产投资增长速度为13%；
（2）数据按大小排列得出：
10.71%，12%，13%，13.16%，16.28%，18.23%，22.58，25%，
∴中位数为：
=14.72%；
答：2005﹣2012年固定资产投资增长速度这组数据的中位数是14.72%；
（3）设2006年的固定资产投资金额为x亿元，则有：
280﹣x=12%x（或x﹣200=25%×200），
解得：x=250，
答：2006年的投资额是250亿元；
如图所示；
（4）565×（1+13%）=638.45≈638（亿元），
答：预测2013年可达638亿元．
点评： 此题主要考查了折线图与条形图以及增长率和中位数的定义等知识，根据已知得出增长率求法是解题关键．
22．（10分）（2013•衢州）【提出问题】
（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN，连结CN．求证：∠ABC=∠ACN．
【类比探究】
（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变，（1）中结论∠ABC=∠ACN还成立吗？请说明理由．
【拓展延伸】
（3）如图3，在等腰△ABC中，BA=BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN，使顶角∠AMN=∠ABC．连结CN．试探究∠ABC与∠ACN的数量关系，并说明理由．
考点： 相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．
分析： （1）利用SAS可证明△BAM≌△CAN，继而得出结论；
（2）也可以通过证明△BAM≌△CAN，得出结论，和（1）的思路完全一样．
（3）首先得出∠BAC=∠MAN，从而判定△ABC∽△AMN，得到
=
，根据∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，得到∠BAM=∠CAN，从而判定△BAM∽△CAN，得出结论．
解答： （1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（2）解：结论∠ABC=∠ACN仍成立．
理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，
∴AB=AC，AM=AN，∠BAC=∠MAN=60°，
∴∠BAM=∠CAN，
∵在△BAM和△CAN中，
∴△BAM≌△CAN（SAS），
∴∠ABC=∠ACN．
（3）解：∠ABC=∠ACN．
理由如下：∵BA=BC，MA=MN，顶角∠ABC=∠AMN，
∴底角∠BAC=∠MAN，
∴△ABC∽△AMN，
∴
=
，
又∵∠BAM=∠BAC﹣∠MAC，∠CAN=∠MAN﹣∠MAC，
∴∠BAM=∠CAN，
∴△BAM∽△CAN，
∴∠ABC=∠ACN．
点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是仔细观察图形，找到全等（相似）的条件，利用全等（相似）的性质证明结论．
23．（10分）（2013•衢州）“五•一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示．
（1）求a的值．
（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．
（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）根据原有的人数﹣a分钟检票额人数+a分钟增加的人数=520建立方程求出其解就可以；
（2）设当10≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由待定系数法求出函数的解析式，再将x=20代入解析式就可以求出结论；
（3）设需同时开放n个检票口，根据原来的人数+15分进站人数≥n个检票口15分钟检票人数建立不等式，求出其解即可．
解答： 解：（1）由图象知，640+16a﹣2×14a=520，
∴a=10；
（2）设当10≤x≤30时，y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得
，
解得：
，
y=﹣26x+780，当x=2时，
y=260，
即检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客有260人．
（3）设需同时开放n个检票口，则由题意知
14n×15≥640+16×15
解得：n≥4
，
∵n为整数，
∴n=5．
答：至少需要同时开放5个检票口．
点评： 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，一元一次不等式的运用，解答的过程中求出函数的解析式是关键，建立一元一次不等式是重点．
24．（12分）（2013•衢州）在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒
个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒．
（1）当点P移动到点D时，求出此时t的值；
（2）当t为何值时，△PQB为直角三角形；
（3）已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=﹣（x﹣t）2+t（t＞0）．问是否存在某一时刻t，将△PQB绕某点旋转180°后，三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）首先根据矩形的性质求出DO的长，进而得出t的值；
（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°，进而利用勾股定理分别分析得出PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2，再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论，求出符合题意的t值即可；
（3）存在这样的t值，若将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形，根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值．
解答： 解：（1）∵四边形OABC是矩形，
∴∠AOC=∠OAB=90°，
∵OD平分∠AOC，
∴∠AOD=∠DOQ=45°，
∴在Rt△AOD中，∠ADO=45°，
∴AO=AD=2，OD=2
，
∴t=
=2；
（2）要使△PQB为直角三角形，显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°．
如图1，作PG⊥OC于点G，在Rt△POG中，
∵∠POQ=45°，∴∠OPG=45°，
∵OP=t，∴OG=PG=t，
∴点P（t，t）
又∵Q（2t，0），B（6，2），
根据勾股定理可得：PB2=（6﹣t）2+（2﹣t）2，QB2=（6﹣2t）2+22，PQ2=（2t﹣t）2+t2=2t2，
①若∠PQB=90°，则有PQ2+BQ2=PB2，
即：2t2+[（6﹣2t）2+22]=（6﹣t）2+（2﹣t）2，
整理得：4t2﹣8t=0，
解得：t1=0（舍去），t2=2，
∴t=2，
②若∠PBQ=90°，则有PB2+QB2=PQ2，
∴[（6﹣t）2+（2﹣t）2]+[（6﹣2t）2+22]=2t2，
整理得：t2﹣10t+20=0，
解得：t=5±
．
∴当t=2或t=5+或t=5﹣时，△PQB为直角三角形．
解法2：①如图2，当∠PQB=90°时，
易知∠OPQ=90°，∴BQ∥OD∴∠BQC=∠POQ=45°
可得QC=BC=2，∴OQ=4，
∴2t=4，
∴t=2，
②如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC上，
作PN⊥x轴于点N，交AB于点M，
则易证∠PBM=∠CBQ，
∴△PMB∽△QCB
∴
=
，
∴CB•PM=QC•MB，
∴2（t﹣2）=（2t﹣6）（t﹣6），
化简得t2﹣10t+20=0，
解得：t=5±，
∴t=5﹣；
③如图3，当∠PBQ=90°时，若点Q在OC的延长线上，
作PN⊥x轴于点N，交AB延长线于点M，
则易证∠BPM=∠MBQ=∠BQC，
∴△PMB∽△QCB，
∴=
，
∴CB•PM=QC•MB，
∴2（t﹣2）=（2t﹣6）（t﹣6），
化简得t2﹣10t+20=0，
解得：t=5±
，
∴t=5+；
（3）存在这样的t值，理由如下：
将△PQB绕某点旋转180°，三个对应顶点恰好都落在抛物线上，
则旋转中心为PQ中点，此时四边形PBQB′为平行四边形．
∵PO=PQ，由P（t，t），Q（2t，0），知旋转中心坐标可表示为（t， t），
∵点B坐标为（6，2），∴点B′的坐标为（3t﹣6，t﹣2），
代入y=﹣（x﹣t）2+t，得：2t2﹣13t+18=0，
解得：t1=，t2=2．
点评： 本题考查了相似形综合题，涉及了动点问题，勾股定理的运用，矩形的性质，直角三角形的性质以及平行四边形的判定和性质，解答本题关键是讨论点P的位置，由题意建立方程从而求出符合题意的t值，同时要数形结合进行思考，难度较大．
