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19．（9分）（2013•雅安）在▱ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且AE=CF．
（1）求证：△ADE≌△CBF；
（2）若DF=BF，求证：四边形DEBF为菱形．
考点： 菱形的判定；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）首先根据平行四边形的性质可得AD=BC，∠A=∠C，再加上条件AE=CF可利用SAS证明△ADE≌△CBF；
（2）首先证明DF=BE，再加上条件AB∥CD可得四边形DEBF是平行四边形，又DF=FB，可根据邻边相等的平行四边形为菱形证出结论．
解答： 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠A=∠C，
∵在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴DF=EB，
∴四边形DEBF是平行四边形，
又∵DF=FB，
∴四边形DEBF为菱形．
点评： 此题主要考查了全等三角形的判定，以及菱形的判定，关键是掌握全等三角形的判定定理，以及菱形的判定定理，平行四边形的性质．
20．（8分）（2013•雅安）甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．（列方程（ 组） 求解）
考点： 二元一次方程组的应用．
分析： 设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程﹣慢者走的路程=环形周长建立方程求出其解即可．
解答： 解：设乙的速度为x米/秒，则甲的速度为2.5x米/秒，环形场地的周长为y米，由题意，得
，
解得：
，
∴甲的速度为：2.5×150=375米/分．
答：乙的速度为150米/分，则甲的速度为375米/分，环形场地的周长为900米．
点评： 本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键．
21．（8分）（2013•雅安）某学校为了增强学生体质，决定开设以下体育课外活动项目：A．篮球 B．乒乓球C．羽毛球 D．足球，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：
（1）这次被调查的学生共有 200 人；
（2）请你将条形统计图（2）补充完整；
（3）在平时的乒乓球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这四名同学中任选两名参加乒乓球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）
考点： 条形统计图；扇形统计图；列表法与树状图法．
专题： 计算题．
分析： （1）由喜欢篮球的人数除以所占的百分比即可求出总人数；
（2）由总人数减去喜欢A，B及D的人数求出喜欢C的人数，补全统计图即可；
（3）根据题意列出表格，得出所有等可能的情况数，找出满足题意的情况数，即可求出所求的概率．
解答： 解：（1）根据题意得：20÷
=200（人），
则这次被调查的学生共有200人；
（2）补全图形，如图所示：
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 ﹣﹣﹣ （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） ﹣﹣﹣ （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） ﹣﹣﹣ （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁） ﹣﹣﹣
所有等可能的结果为12种，其中符合要求的只有2种，
则P=
=．
点评： 此题考查了条形统计图，扇形统计图，以及列表法与树状图法，弄清题意是解本题的关键．
22．（10分）（2013•雅安）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣2，0），且tan∠ACO=2．
（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）在x轴上求点E，使△ACE为直角三角形．（直接写出点E的坐标）
考点： 反比例函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）过点A作AD⊥x轴于D，根据A、C的坐标求出AD=6，CD=n+2，已知tan∠ACO=2，可求出n的值，把点的坐标代入解析式即可求得反比例函数和一次函数解析式；
（2）求出反比例函数和一次函数的另外一个交点即可；
（3）分两种情况：①AE⊥x轴，②EA⊥AC，分别写出E的坐标即可．
解答： 解：（1）过点A作AD⊥x轴于D，
∵C的坐标为（﹣2，0），A的坐标为（n，6），
∴AD=6，CD=n+2，
∵tan∠ACO=2，
∴
=
=2，
解得：n=1，
故A（1，6），
∴m=1×6=6，
∴反比例函数表达式为：y=，
又∵点A、C在直线y=kx+b上，
∴
，
解得：
，
∴一次函数的表达式为：y=2x+4；
（2）由
得： =2x+4，
解得：x=1或x=﹣3，
∵A（1，6），
∴B（﹣3，﹣2）；
（3）分两种情况：①当AE⊥x轴时，
即点E与点D重合，
此时E1（1，0）；
②当EA⊥AC时，
此时△ADE∽△CDA，
则
=
，
DE=
=12，
又∵D的坐标为（1，0），
∴E2（13，0）．
点评： 本题考查了反比例函数的综合题，涉及了点的坐标的求法以及待定系数法求函数解析式的知识，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力．
23．（10分）（2013•雅安）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）
考点： 切线的判定与性质；扇形面积的计算．
分析： （1）首先连接OD，由BC是⊙O的切线，可得∠ABC=90°，又由CD=CB，OB=OD，易证得∠ODC=∠ABC=90°，即可证得CD为⊙O的切线；
（2）在Rt△OBF中，∠ABD=30°，OF=1，可求得BD的长，∠BOD的度数，又由S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD，即可求得答案．
解答： （1）证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴∠ABC=90°，
∵CD=CB，
∴∠CBD=∠CDB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODC=∠ABC=90°，
即OD⊥CD，
∵点D在⊙O上，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：在Rt△OBF中，
∵∠ABD=30°，OF=1，
∴∠BOF=60°，OB=2，BF=
，
∵OF⊥BD，
∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，
∴S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD=
﹣×2×1=π﹣．
点评： 此题考查了切线的判定与性质、垂径定理以及扇形的面积．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
24．（12分）（2013•雅安）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；
（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．
①求S与m的函数关系式；
②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标； 若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．
专题： 综合题．
分析： （1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；
（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；
（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．
解答： 解：（1）由题意可知：
解得：
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；
（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC
∵BC是定值，
∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，
∵点A、点B关于对称轴I对称，
∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点
∵AP=BP
∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC
∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），
∴AC=3
，BC=
；
（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）
∵A（﹣3，0）
∴直线AD的解析式为y=2x+6
∵点E的横坐标为m，
∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）
∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）
=﹣m2﹣4m﹣3
∴S=S△DEF+S△AEF
=EF•GH+EF•AC
=EF•AH
=（﹣m2﹣4m﹣3）×2
=﹣m2﹣4m﹣3；
②S=﹣m2﹣4m﹣3
=﹣（m+2）2+1；
∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1
此时点E的坐标为（﹣2，2）．
点评： 此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的最值，根据点的坐标表示出线段的长是表示出三角形的面积的基础．
