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三、解答及证明（本大题共7个小题，各题的分值见题号，共80分）
21．（8分）（2013•毕节地区）计算：
．
考点： 实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．
分析： 分别进行零指数幂、去括号、负整数指数幂、二次根式的化简、绝对值等运算，然后按照实数的运算法则计算即可．
解答： 解：原式=1+5+2﹣3﹣2
=3．
点评： 本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、去括号、负整数指数幂、二次根式的化简、绝对值等知识，属于基础题．
22．（10分）（2013•毕节地区）甲、乙玩转盘游戏时，把质地相同的两个转盘A、B平均分成2份和3份，并在每一份内标有数 字如图．游戏规则：甲、乙两人分别同时转动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数 时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．
（1）用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率；
（2）这个游戏对甲、乙双方公平吗？请判断并说明理由．
考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．
分析： （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与数字之和为偶数情况，再利用概率公式即可求得答案；
（2）分别求得甲、乙两人获胜的概率，比较大小，即可得这个游戏规则对甲、乙双方是否公平．
解答： 解：（1）画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，两数之和为偶数的有2种情况；
∴甲获胜的概率为： =；
（2）不公平．
理由：∵数字之和为奇数的有4种情况，
∴P（乙获胜）==，
∴P（甲）≠P（乙），
∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平．
点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
23．（8分）（2013•毕节地区）先化简，再求值．
，其中m=2．
考点： 分式的化简求值．
专题： 计算题．
分析： 原式第一项利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后通分，并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，将m的值代入计算即可求出值．
解答： 解：原式=
•
+
=
+
=
=
，
当m=2时，原式=
=2．
点评： 此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．
24．（12分）（2013•毕节地区）解不等式组．
把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．
考点： 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集；一元一次不等式组的整数解．
分析： 分别计算出两个不等式的解集，再根据大小小大中间找确定不等式组的解集即可，再找出解集范围内的非负整数即可．
解答： 解：
，
由①得：x≥﹣1，
由②得：x＜3，
不等式组的解集为：﹣1≤x＜3．
在数轴上表示为：
．
不等式组的非负整数解为2，1，0．
点评： 此题主要考查了解一元一次不等式组，解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
25．（12分）（2013•毕节地区）四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE=BF，连接AE、AF、EF．
（1）求证：△ADE≌△ABF；
（2）填空：△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转 90度得到；
（3）若BC=8，DE=6，求△AEF的面积．
考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题： 证明题．
分析： （1）根据正方形的性质得AD=AB，∠D=∠ABC=90°，然后利用“SAS”易证得△ADE≌△ABF；
（2）由于△ADE≌△ABF得∠BAF=∠DAE，则∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，根据旋转的定义可得到△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；
（3）先利用勾股定理可计算出AE=10，在根据△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到AE=AF，∠EAF=90°，然后根据直角三角形的面积公式计算即可．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠D=∠ABC=90°，
而F是DCB的延长线上的点，
∴∠ABF=90°，
在△ADE和△ABF中
，
∴△ADE≌△ABF（SAS）；
（2）解：∵△ADE≌△ABF，
∴∠BAF=∠DAE，
而∠DAE+∠EBF=90°，
∴∠BAF+∠EBF=90°，即∠FAE=90°，
∴△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到；
故答案为A、90；
（3）解：∵BC=8，
∴AD=8，
在Rt△ADE中，DE=6，AD=8，
∴AE=
=10，
∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∴△AEF的面积=AE2=×100=50（平方单位）．
点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了全等三角形的判定与性质以及勾股定理．
26．（14分）（2013•毕节地区）如图，小明为了测量小山顶的塔高，他在A处测得塔尖D的仰角为45°，再沿AC方向前进73.2米到达山脚B处，测得塔尖D的仰角为60°，塔底E的仰角为30°，求塔高．（精确到0.1米，
≈1.732）
考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
专题： 应用题．
分析： 设EC=x，则在Rt△BCE中，BC=
EC=x；在Rt△BCD中，CD=BC=3x；
在Rt△ACD中，AC=AB+BC=73.2+x，CD=3x，利用关系式AC=CD列方程求出x；
塔高DE=CD﹣EC=2x可以求出．
解答： 解：设EC=x（米），
在Rt△BCE中，∠EBC=30°，∴BC=
=x；
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，∴CD=BC•tan60°=
x•=3x；
在Rt△ACD中，∠DBC=45°，
∴AC=CD，
即：73.2+x=3x，
解得：x=12.2（3+）．
塔高DE=CD﹣EC=3x﹣x=2x=2×12.2（3+）=24.4（3+）≈115.5（米）．
答：塔高DE约为115.5米．
点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段的长度，难度一般．
27．（16分）（2013•毕节地区）如图，抛物线y=ax2+b与x轴交于点A、B，且A点的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，1）．
（1）求抛物线的解析式，并求出点B坐标；
（2）过点B作BD∥CA交抛物线于点D，连接BC、CA、AD，求四边形ABCD的周长；（结果保留根号）
（3）在x轴上方的抛物线上是否存在点P，过点P作PE垂直于x轴，垂足为点E，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似？若存在请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，点B坐标可由对称性质得到，或令y=0，由解析式得到；
（2）关键是求出点D的坐标，然后利用勾股定理分别求出四边形ABCD四个边的长度；
（3）本问为存在型问题．可以先假设存在，然后按照题意条件求点P的坐标，如果能求出则点P存在，否则不存在．注意三角形相似有两种情形，需要分类讨论．
解答： 解：（1）∵点A（1，0）和点C（0，1）在抛物线y=ax2+b上，
∴
，解得：a=﹣1，b=1，
∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+1，
抛物线的对称轴为y轴，则点B与点A（1，0）关于y轴对称，∴B（﹣1，0）．
（2）设过点A（1，0），C（0，1）的直线解析式为y=kx+b，可得：
，解得k=﹣1，b=1，∴y=﹣x+1．
∵BD∥CA，∴可设直线BD的解析式为y=﹣x+n，
∵点B（﹣1，0）在直线BD上，∴0=1+n，得n=﹣1，
∴直线BD的解析式为：y=﹣x﹣1．
将y=﹣x﹣1代入抛物线的解析式，得：﹣x﹣1=﹣x2+1，解得：x1=2，x2=﹣1，
∵B点横坐标为﹣1，则D点横坐标为2，
D点纵坐标为y=﹣2﹣1=﹣3，∴D点坐标为（2，﹣3）．
如答图①所示，过点D作DN⊥x轴于点N，则DN=3，AN=1，BN=3，
在Rt△BDN中，BN=DN=3，由勾股定理得：BD=
；
在Rt△ADN中，DN=3，AN=1，由勾股定理得：AD=
；
又OA=OB=OC=1，OC⊥AB，由勾股定理得：AC=BC=
；
∴四边形ABCD的周长为：AC+BC+BD+AD=++
+
=
+．
（3）假设存在这样的点P，则△BPE与△CBD相似有两种情形：
（I）若△BPE∽△BDC，如答图②所示，
则有
，即
，∴PE=3BE．
设OE=m（m＞0），则E（﹣m，0），BE=1﹣m，PE=3BE=3﹣3m，
∴点P的坐标为（﹣m，3﹣3m）．
∵点P在抛物线y=﹣x2+1上，
∴3﹣3m=﹣（﹣m）2+1，解得m=1或m=2，
当m=1时，点E与点B重合，故舍去；当m=2时，点E在OB左侧，点P在x轴下方，不符合题意，故舍去．
因此，此种情况不存在；
（II）若△EBP∽△BDC，如答图③所示，
则有
，即
，∴BE=3PE．
设OE=m（m＞0），则E（m，0），BE=1+m，PE=BE=（1+m）=+m，
∴点P的坐标为（m， +m）．
∵点P在抛物线y=﹣x2+1上，
∴+m=﹣（m）2+1，解得m=﹣1或m=，
∵m＞0，故m=1舍去，∴m=，
点P的纵坐标为： +m=+×=，
∴点P的坐标为（，）．
综上所述，存在点P，使以B、P、E为顶点的三角形与△CBD相似，点P的坐标为（，）．
点评： 本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形的判定与性质、勾股定理等重要知识点．第（2）问的解题要点是求出点D的坐标，第（3）问的解题要点是分类讨论．
