三.解答题(本题有7个小题,共66分)解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤.如果觉得有的题目有点困难,那么把自己能写出的解答写出一部分也可以.
17.(2013杭州)如图,四边形ABCD是矩形,用直尺和圆规作出∠A的平分线与BC边的垂直平分线的交点Q(不写作法,保留作图痕迹).连结QD,在新图形中,你发现了什么?请写出一条.
考点:作图—复杂作图.
分析:根据角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法得出Q点位置,进而利用垂直平分线的作法得出答案即可.
解答:解:如图所示:发现:DQ=AQ或者∠QAD=∠QDA等等.
点评:此题主要考查了复杂作图以及线段垂直平分线的作法和性质等知识,熟练应用其性质得出系等量关系是解题关键.
18.(2013杭州)当x满足条件时,求出方程x2﹣2x﹣4=0的根.
考点:解一元二次方程-公式法;解一元一次不等式组.
分析:通过解一元一次方程组求得2<x<4.然后利用求根公式x=求得方程程x2﹣2x﹣4=0的根,由x的取值范围来取舍该方程的根.
解答:解:由求得
,
则2<x<4.
解方程x2﹣2x﹣4=0可得x1=1+,x2=1﹣,
∵2<<3,
∴3<1+<4,符合题意
∴x=1+.
点评:本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法,解一元一次不等式组.要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解.
19.(2013杭州)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,线段AG,BG分别交CD于点E,F,DE=CF.
求证:△GAB是等腰三角形.
考点:等腰梯形的性质;全等三角形的判定与性质;等腰三角形的判定.
专题:证明题.
分析:由在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,DE=CF,利用SAS,易证得△ADE≌△BCF,即可得∠DAE=∠CBF,则可得∠GAB=∠GBA,然后由等角对等边,证得:△GAB是等腰三角形.
解答:证明:∵在等腰梯形中ABCD中,AD=BC,
∴∠D=∠C,∠DAB=∠CBA,
在△ADE和△BCF中,
,
∴△ADE≌△BCF(SAS),
∴∠DAE=∠CBF,
∴∠GAB=∠GBA,
∴GA=GB,
即△GAB为等腰三角形.
点评:此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
20.(2013杭州)已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)与x轴相交于点A,B(点A,B在原点O两侧),与y轴相交于点C,且点A,C在一次函数y2=x+n的图象上,线段AB长为16,线段OC长为8,当y1随着x的增大而减小时,求自变量x的取值范围.
考点:二次函数的性质;抛物线与x轴的交点.
专题:分类讨论.
分析:根据OC的长度确定出n的值为8或﹣8,然后分①n=8时求出点A的坐标,然后确定抛物线开口方向向下并求出点B的坐标,再求出抛物线的对称轴解析式,然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围;②n=﹣8时求出点A的坐标,然后确定抛物线开口方向向上并求出点B的坐标,再求出抛物线的对称轴解析式,然后根据二次函数的增减性求出x的取值范围.
解答:解:根据OC长为8可得一次函数中的n的值为8或﹣8.
分类讨论:①n=8时,易得A(﹣6,0)如图1,
∵抛物线经过点A、C,且与x轴交点A、B在原点的两侧,
∴抛物线开口向下,则a<0,
∵AB=16,且A(﹣6,0),
∴B(10,0),而A、B关于对称轴对称,
∴对称轴直线x==2,
要使y1随着x的增大而减小,则a<0,
∴x>2;
(2)n=﹣8时,易得A(6,0),如图2,
∵抛物线过A、C两点,且与x轴交点A,B在原点两侧,
∴抛物线开口向上,则a>0,
∵AB=16,且A(6,0),
∴B(﹣10,0),而A、B关于对称轴对称,
∴对称轴直线x==﹣2,
要使y1随着x的增大而减小,且a>0,
∴x<﹣2.
点评:本题考查了二次函数的性质,主要利用了一次函数图象上的点的坐标特征,二次函数的增减性,难点在于要分情况讨论.
21.(2013杭州)某班有50位学生,每位学生都有一个序号,将50张编有学生序号(从1号到50号)的卡片(除序号不同外其它均相同打乱顺序重新排列,从中任意抽取1张卡片
(1)在序号中,是20的倍数的有:20,40,能整除20的有:1,2,4,5,10(为了不重复计数,20只计一次),求取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率;
(2)若规定:取到的卡片上序号是k(k是满足1≤k≤50的整数),则序号是k的倍数或能整除k(不重复计数)的学生能参加某项活动,这一规定是否公平?请说明理由;
(3)请你设计一个规定,能公平地选出10位学生参加某项活动,并说明你的规定是符合要求的.
考点:游戏公平性.
分析:(1)由在序号中,是20的倍数的有:20,40,能整除20的有:1,2,4,5,10(为了不重复计数,20只计一次),直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)由无论k取何值,都能被1整除,则序号为1的学生被抽中的概率为1,即100%,而很明显抽到其他序号学生概率不为100%.可知此游戏不公平;
(3)可设计为:先抽出一张,记下数字,然后放回.若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复,则不记数,放回,重新抽取.不断重复,直至抽满10个不同的数字为止.
解答:解:(1)∵在序号中,是20的倍数的有:20,40,能整除20的有:1,2,4,5,10(为了不重复计数,20只计一次),
∴是20倍数或者能整除20的数有7个,
则取到的卡片上序号是20的倍数或能整除20的概率为:;
(2)不公平,
∵无论k取何值,都能被1整除,则序号为1的学生被抽中的概率为1,即100%,
而很明显抽到其他序号学生概率不为100%.
∴不公平;
(3)先抽出一张,记下数字,然后放回.若下一次抽到的数字与之前抽到过的重复,则不记数,放回,重新抽取.不断重复,直至抽满10个不同的数字为止.
(为保证每个数字每次被抽到的概率都是)
点评:本题考查的是游戏公平性的判断.判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平.
22.(2013杭州)(1)先求解下列两题:①如图①,点B,D在射线AM上,点C,E在射线AN上,且AB=BC=CD=DE,已知∠EDM=84°,求∠A的度数;
②如图②,在直角坐标系中,点A在y轴正半轴上,AC∥x轴,点B,C的横坐标都是3,且BC=2,点D在AC上,且横坐标为1,若反比例函数的图象经过点B,D,求k的值.
(2)解题后,你发现以上两小题有什么共同点?请简单地写出.
考点:等腰三角形的性质;反比例函数图象上点的坐标特征.
分析:(1)①根据等边对等角可得∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED,再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM,然后用∠A表示出∠EDM,计算即可求解;
②先根据反比例函数图象上的点的坐标特征表示出点B的坐标,再表示出点C的坐标,然后根据AC∥x轴可得点C、D的纵坐标相同,从而表示出点D的坐标,再代入反比例函数解析式进行计算即可得解.
(2)从数学思想上考虑解答.
解答:解:(1)①∵AB=BC=CD=DE,
∴∠A=∠BCA,∠CBD=∠BDC,∠ECD=∠CED,
根据三角形的外角性质,∠A+∠BCA=∠CBD,∠A+∠CDB=∠ECD,∠A+∠CED=∠EDM,
又∵∠EDM=84°,
∴∠A+3∠A=84°,
解得,∠A=21°;
②∵点B在反比例函数y=图象上,点B,C的横坐标都是3,
∴点B(3,),
∵BC=3,
∴点C(3,+2),
∵AC∥x轴,点D在AC上,且横坐标为1,
∴A(1,+2),
∵点A也在反比例函数图象上,
∴+2=k,
解得,k=3;
(2)用已知的量通过关系去表达未知的量,使用转换的思维和方法.(开放题)
点评:本题考查了等腰三角形两底角相等的性质,三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,以及反比例函数图象上点的坐标特征,是基础题.
23.(2013杭州)如图,已知正方形ABCD的边长为4,对称中心为点P,点F为BC边上一个动点,点E在AB边上,且满足条件∠EPF=45°,图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称,设它们的面积和为S1.
(1)求证:∠APE=∠CFP;
(2)设四边形CMPF的面积为S2,CF=x,.
①求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围,并求出y的最大值;
②当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时,求y的值.
考点:四边形综合题.
分析:(1)利用正方形与三角形的相关角之间的关系可以证明结论;
(2)本问关键是求出y与x之间的函数解析式.
①首先分别用x表示出S1与S2,然后计算出y与x的函数解析式.这是一个二次函数,求出其最大值;
②注意中心对称、轴对称的几何性质.
解答:(1)证明:∵∠EPF=45°,
∴∠APE+∠FPC=180°﹣45°=135°;
而在△PFC中,由于PF为正方形ABCD的对角线,则∠PCF=45°,
则∠CFP+∠FPC=180°﹣45°=135°,
∴∠APE=∠CFP.
(2)解:①∵∠APE=∠CFP,且∠FCP=∠PAE=45°,
∴△APE∽△CPF,则.
而在正方形ABCD中,AC为对角线,则AC=AB=,
又∵P为对称中心,则AP=CP=,
∴AE===.
如图,过点P作PH⊥AB于点H,PG⊥BC于点G,
P为AC中点,则PH∥BC,且PH=BC=2,同理PG=2.
S△APE==×2×=,
∵阴影部分关于直线AC轴对称,
∴△APE与△APN也关于直线AC对称,
则S四边形AEPN=2S△APE=;
而S2=2S△PFC=2×=2x,
∴S1=S正方形ABCD﹣S四边形AEPN﹣S2=16﹣﹣2x,
∴y===+﹣1.
∵E在AB上运动,F在BC上运动,且∠EPF=45°,
∴2≤x≤4.
令=a,则y=﹣8a2+8a﹣1,当a==,即x=2时,y取得最大值.
而x=2在x的取值范围内,代入x=2,则y最大=4﹣2﹣1=1.
∴y关于x的函数解析式为:y=+﹣1(2≤x≤4),y的最大值为1.
②图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称,
而此两块图形也关于直线AC成轴对称,则阴影部分图形自身关于直线BD对称,
则EB=BF,即AE=FC,
∴=x,解得x=,
代入x=,得y=﹣2.
点评:本题是代数几何综合题,考查了正方形的性质、相似三角形、二次函数的解析式与最值、几何变换(轴对称与中心对称)、图形面积的计算等知识点,涉及的考点较多,有一定的难度.本题重点与难点在于求出y与x的函数解析式,在计算几何图形面积时涉及大量的计算,需要细心计算避免出错.