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2014年高考数学真题附解析(湖北卷+文科)

来源:可可英语 编辑:max   VIP免费外教试听课 |  可可官方微信:ikekenet

一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.[2014·湖北卷] 已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁UA=(  )

A.{1,3,5,6} B.{2,3,7}

C.{2,4,7} D.{2,5,7}

1.C [解析] 由A={1,3,5,6},U={1,2,3,4,5,6,7},得∁UA={2,4,7}.故选C.

2.[2014·湖北卷] i为虚数单位,=(  )

A.1 B.-1 C.i D.-i

2.B [解析] ===-1.故选B.

3.[2014·湖北卷] 命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是(  )

A.∀x∈/R,x2≠x B.∀x∈R,x2=x

C.∃x0∈/R,x≠x0 D.∃x0∈R,x=x0

3.D [解析] 特称命题的否定方法是先改变量词,然后否定结论,故命题“∀x∈R,x2≠x”的否定是“∃x0∈R,x=x0”. 故选D.

4.[2014·湖北卷] 若变量x,y满足约束条件则2x+y的最大值是(  )

A.2 B.4 C.7 D.8

4.C [解析] 作出约束条件表示的可行域如下图阴影部分所示.

设z=2x+y,平移直线2x+y=0,易知在直线x+y=4与直线x-y=2的交点A(3,1)处,z=2x+y取得最大值7. 故选C.

5.[2014·湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1,点数之和大于5的概率记为p2,点数之和为偶数的概率记为p3,则(  )

A.p1<p2<p3 B.p2<p1<p3

C.p1<p3<p2 D.p3<p1<p2

5.C [解析] 掷出两枚骰子,它们向上的点数的所有可能情况如下表:


1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9

10

5

6

7

8

9

10

11

6

7

8

9

10

11

12

则p1=,p2=,p3=.故p1<p3<p2.故选C.

6.[2014·湖北卷] 根据如下样本数据

x

3

4

5

6

7

8

y

4.0

2.5

-0.5

0.5

-2.0

-3.0

得到的回归方程为=bx+a,则(  )

A.a>0,b<0 B.a>0,b>0

C.a<0,b<0 D.a<0,b>0

6.A [解析] 作出散点图如下:

由图像不难得出,回归直线=bx+a的斜率b<0,截距a>0,所以a>0,b<0.故选A.

图1­1

7.[2014·湖北卷] 在如图1­1所示的空间直角坐标系O ­xyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(  )

 

图1­2

A.①和② B.③和①

C.④和③ D.④和②

7.D [解析] 由三视图可知,该几何体的正视图显然是一个直角三角形(三个顶点坐标分别是(0,0,2),(0,2,0),(0,2,2))且内有一虚线(一锐角顶点与一直角边中点的连线),故正视图是④;俯视图是一个斜三角形,三个顶点坐标分别是(0,0,0),(2,2,0),(1,2,0),故俯视图是②.故选D.

8.、[2014·湖北卷] 设a,b是关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为(  )

A.0 B.1

C.2 D.3

8.A [解析] 由方程t2cos θ+tsin θ=0,解得t1=0,t2=-tan θ,不妨设点A(0,0),B(-tan θ,tan2θ),则过这两点的直线方程为y=-xtan θ,该直线恰是双曲线-=1的一条渐近线,所以该直线与双曲线无公共点.故选A.

9.、[2014·湖北卷] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2-3x,则函数g(x)=f(x)-x+3的零点的集合为(  )

A.{1,3} B.{-3,-1,1,3}

C.{2-,1,3} D.{-2-,1,3}

9.D [解析] 设x<0,则-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-3(-x)]=-x2-3x .

求函数g(x)=f(x)-x+3的零点等价于求方程f(x)=-3+x的解.

当x≥0时,x2-3x=-3+x,解得x1=3,x2=1;

当x<0时,-x2-3x=-3+x,解得x3=-2-.故选D.

10.[2014·湖北卷] 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术“置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.”该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为(  )

A. B.

C. D.

10.B [解析] 设圆锥的底面圆半径为r,底面积为S,则L=2πr.由题意得L2h≈Sh,代入S=πr2化简得π≈3.类比推理,若V≈L2h时,π≈.故选B.


_ueditor_page_break_tag_11.[2014·湖北卷] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.

11.1800 [解析] 设乙设备生产的产品总数为n,则=,解得n=1800.

12.、[2014·湖北卷] 若向量=(1,-3),

||=||,·=0,则||=________.

12.2 [解析] 由题意知,=(3,1)或OB=(-3,-1),所以AB=OB-OA=(2,4)或AB=(-4,2),所以|AB|==2 .

13.[2014·湖北卷] 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知A=,a=1,b=,则B=________.

13.或 [解析] 由正弦定理得=,即=,解得sin B=.又因为b>a,所以B=或.

14.[2014·湖北卷] 阅读如图1­3所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n的值为 9,则输出S的值为________.

图1­3

14.1067 [解析] 第一次运行时,S=0+21+1,k=1+1;

第二次运行时,S=(21+1)+(22+2),k=2+1;

……

所以框图运算的是S=(21+1)+(22+2)+…+(29+9)=1067.

15.[2014·湖北卷] 如图1­4所示,函数y=f(x)的图像由两条射线和三条线段组成.

若∀x∈R,f(x)>f(x-1),则正实数a的取值范围为________.

图1­4

15. [解析] “∀x∈R,f(x)>f(x-1)”等价于“函数y=f(x)的图像恒在函数y=f(x-1)的图像的上方”,函数y=f(x-1)的图像是由函数y=f(x)的图像向右平移一个单位得到的,如图所示.因为a>0,由图知6a<1,所以a的取值范围为.

16.[2014·湖北卷] 某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=.

(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为________辆/小时;

(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加________辆/小时.

16.(1)1900 (2)100 [解析] (1)依题意知,l>0,v>0,所以当l=6.05时,

F==≤=1900,当且仅当v=11时,取等号.

(2)当l=5时,

F==≤2000,

当且仅当v=10时,取等号,此时比(1)中的最大车流量增加100辆/小时.

17.[2014·湖北卷] 已知圆O:x2+y2=1和点A(-2,0),若定点B(b,0)(b≠-2)和常数λ满足:对圆O上任意一点M,都有|MB|=λ|MA|,则

(1)b=________;

(2)λ=________.

17.(1)- (2) [解析] 设点M(cos θ,sin θ),则由|MB|=λ|MA|得(cos θ-b)2+sin2θ=λ2,即-2bcos θ+b2+1=4λ2cos θ+5λ2对任意的θ都成立,所以又由|MB|=λ|MA|,得λ>0,且b≠-2,解得


_ueditor_page_break_tag_

18.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系:

f(t)=10-cost-sint,t∈[0,24).

(1)求实验室这一天上午8时的温度;

(2)求实验室这一天的最大温差.

18.解:(1)f(8)=10-cos-sin=10-cos-sin=10-×-=10.

故实验室上午8时的温度为10 ℃.

(2)因为f(t)=10-2=10-2sin,

又0≤t<24,

所以≤t+<,所以-1≤sin≤1.

当t=2时,sin=1;

当t=14时,sin=-1.

于是f(t)在[0,24)上取得最大值12,最小值8.

故实验室这一天最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃.

19.、、[2014·湖北卷] 已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列.

(1)求数列{an}的通项公式.

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由.

19.解:(1)设数列{an}的公差为d,

依题意知,2,2+d,2+4d成等比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),

化简得d2-4d=0,解得d=0或d=4,

当d=0时,an=2;

当d=4时,an=2+(n-1)·4=4n-2,

从而得数列{an}的通项公式为an=2或an=4n-2.

(2)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立.

当an=4n-2时,Sn==2n2.

令2n2>60n+800,即n2-30n-400>0,

解得n>40或n<-10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41.

综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n;

当an=4n-2时,存在满足题意的正整数n,其最小值为41.

20.、[2014·湖北卷] 如图1­5,在正方体ABCD ­A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点.求证:

(1)直线BC1∥平面EFPQ;

(2)直线AC1⊥平面PQMN.

图1­5

20.证明:(1)连接AD1,由ABCD ­ A1B1C1D1是正方体,

知AD1∥BC1.

因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.

从而BC1∥FP.

而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,

故直线BC1∥平面EFPQ.

(2)如图,连接AC,BD,A1C1,则AC⊥BD.

由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,

可得CC1⊥BD.

又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1A1.

而AC1⊂平面ACC1A1,所以BD⊥AC1.

因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.

同理可证PN⊥AC1.

又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.

21.[2014·湖北卷] π为圆周率,e=2.718 28…为自然对数的底数.

(1)求函数f(x)=的单调区间;

(2)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数.

21.解:(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞).

因为f(x)=,所以f′(x)=.

当f′(x)>0,即0<x<e时,函数f(x)单调递增;

当f′(x)<0,即x>e时,函数f(x)单调递减.

故函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞).

(2)因为e<3<π,所以eln 3<eln π,πln e<πln 3,

即ln 3e<ln πe,ln eπ<ln 3π.

于是根据函数y=ln x,y=ex,y=πx在定义域上单调递增可得,3e<πe<π3,e3<eπ<3π.

故这6个数中的最大数在π3与3π之中,最小数在3e与e3之中.

由e<3<π及(1)的结论,得f(π)<f(3)<f(e),

即<<.

由<, 得ln π3<ln3π,所以3π>π3.

由<,得ln 3e<ln e3,所以3e<e3.

综上,6个数中的最大数是3π,最小数是3e.

22.[2014·湖北卷] 在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.

(1)求轨迹C的方程;

(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.

22.解:(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,

即=|x|+1,

化简整理得y2=2(|x|+x).

故点M的轨迹C的方程为y2=

(2)在点M的轨迹C中,

记C1:y2=4x(x≥0),C2:y=0(x<0).

依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).

由方程组

可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①

当k=0时,y=1.把y=1代入轨迹C的方程,

得x=.

故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.

当k≠0时,方程①的判别式

Δ=-16(2k2+k-1).②

设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③

(i)若由②③解得k<-1或k>.

即当k∈(-∞,-1)∪时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.

(ii)若或由②③解得k∈或-≤k<0.

即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.

当k∈时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.

故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.

(iii)若由②③解得-1<k<-或0<k<.

即当k∈∪时,直线l与C1有一个公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.

综上所述,当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;

当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.

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tan [tæn]

想一想再看

n. 黝黑,棕褐色
v. 晒黑,鞣(革),使晒

联想记忆
sin [sin]

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n. 原罪
v. 犯罪,违反(教规)

 


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