19、（本小题满分13分）

已知A,B 分别为曲线C： +=1（y0,a>0）与x轴的左、右两个交点，直线过点B,且与轴垂直，S为上

异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧的三等分点，试求出点S的坐标；

（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。

19.【解析】

解法一：

(Ⅰ)当曲线C为半圆时，如图，由点T为圆弧的三等分点得∠BOT=60°或120°.

(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.

又AB=2,故在△SAE中,有

(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为,综上,

(Ⅱ)假设存在,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SB为直线的圆上,故.

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为.

由

设点

故,从而.

亦即

由得

由,可得即

经检验,当时,O,M,S三点共线. 故存在,使得O,M,S三点共线.

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SO为直径的圆上,故.

显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为

由

设点,则有

故

由所直线SM的方程为

O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即.

故存在,使得O,M,S三点共线.

20、（本小题满分14分）

已知函数,且

(1) 试用含的代数式表示b,并求的单调区间；

（2）令,设函数在处取得极值，记点M (,)，N(,)，P(), ,请仔细观察曲线在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m (, x)，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）

20.解法一:

(Ⅰ)依题意,得

由.

从而

令

①当a>1时,

当x变化时，与的变化情况如下表：

由此得，函数的单调增区间为和，单调减区间为。

②当时，此时有恒成立，且仅在处，故函数的单调增区间为R

③当时，同理可得，函数的单调增区间为和，单调减区间为

综上：

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为；

当时，函数的单调增区间为R；

当时，函数的单调增区间为和，单调减区间为.

(Ⅱ)由得令得

由（1）得增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值，故M（）N（）。

观察的图象，有如下现象：

①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线在点P处切线的斜率之差Kmp-的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－的m正负有着密切的关联；

③Kmp－=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线在点处的切线斜率；

线段MP的斜率Kmp

当Kmp－=0时，解得

直线MP的方程为

令

当时，在上只有一个零点，可判断函数在上单调递增，在上单调递减，又，所以在上没有零点，即线段MP与曲线没有异于M，P的公共点。

当时，.

所以存在使得

即当MP与曲线有异于M,P的公共点

综上，t的最小值为2.

（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为

解法二：

（1）同解法一.

（2）由得，令，得

由（1）得的单调增区间为和，单调减区间为，所以函数在处取得极值。故M().N()

(Ⅰ) 直线MP的方程为

由

得

线段MP与曲线有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数

上有零点.

因为函数为三次函数,所以至多有三个零点,两个极值点.

又.因此, 在上有零点等价于在内恰有一个极大值点和一个极小值点,即内有两不相等的实数根.

等价于 即

又因为,所以m 的取值范围为(2,3)

从而满足题设条件的r的最小值为2.

21、本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，

（1）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换

已知矩阵M所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l:3x+4y-12=0与圆C: (为参数 )试判断他们的公共点个数

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

21.

(1)解:依题意得

由得,故

从而由得

故为所求.

(2)解:圆的方程可化为.

其圆心为,半径为2.

(3)解:当x<0时,原不等式可化为

又不存在;

当时,原不等式可化为

又

当

综上,原不等式的解集为

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