19.(本小题满分12分)
如图6,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AD∥BC,AC⊥BD.
(Ⅰ)证明:BD⊥PC;
(Ⅱ)若AD=4,BC=2,直线PD与平面PAC所成的角为30°,求四棱锥P-ABCD的体积.
【解析】(Ⅰ)因为
又是平面PAC内的两条相较直线,所以BD平面PAC,
而平面PAC,所以.
(Ⅱ)设AC和BD相交于点O,连接PO,由(Ⅰ)知,BD平面PAC,
所以是直线PD和平面PAC所成的角,从而.
由BD平面PAC,平面PAC,知.
在中,由,得PD=2OD.
因为四边形ABCD为等腰梯形,,所以均为等腰直角三角形,
从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积
在等腰三角形AOD中,
所以
故四棱锥的体积为.
【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可,第二问由(Ⅰ)知,BD平面PAC,所以是直线PD和平面PAC所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由算得体积.
20.(本小题满分13分)
某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.
(Ⅰ)用d表示a1,a2,并写出与an的关系式;
(Ⅱ)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).
【解析】(Ⅰ)由题意得,
,
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
.
整理得
.
由题意,
解得.
故该企业每年上缴资金的值为缴时,经过年企业的剩余资金为4000元.
【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用,考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型,得出与an的关系式,第二问,只要把第一问中的迭代,即可以解决.
21.(本小题满分13分)
在直角坐标系xOy中,已知中心在原点,离心率为的椭圆E的一个焦点为圆C:x2+y2-4x+2=0的圆心.
(Ⅰ)求椭圆E的方程;
(Ⅱ)设P是椭圆E上一点,过P作两条斜率之积为的直线l1,l2.当直线l1,l2都与圆C相切时,求P的坐标.
【解析】(Ⅰ)由,得.故圆C的圆心为点
从而可设椭圆E的方程为其焦距为,由题设知
故椭圆E的方程为:
(Ⅱ)设点的坐标为,的斜分率分别为则的方程分别为且由与圆相切,得
,
即
同理可得 .
从而是方程的两个实根,于是
①
且
由得解得或
由得由得它们满足①式,故点P的坐标为
,或,或,或.
【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系,考查运算能力,考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程,求出即得椭圆E的方程,第二问设出点P坐标,利用过P点的两条直线斜率之积为,得出关于点P坐标的一个方程,利用点P在椭圆上得出另一方程,联立两个方程得点P坐标.
22.(本小题满分13分)
已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.
(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
【解析】解:令.
当时单调递减;当时单调递增,故当时,取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当
. ①
令则
当时,单调递增;当时,单调递减.
故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.
综上所述,的取值集合为.
(Ⅱ)由题意知,
令则
令,则.
当时,单调递减;当时,单调递增.
故当,即
从而,又
所以
因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在
使即成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.