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23．（10分）（2014•南平）如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB．
（1）求证：直线
AB是⊙O的切线．
（2）若∠A=34°，AC=6，求⊙O的周长．（结果精确到0.01）
考点： 切线的判定；解直角三角形．
分析： （1）连接OC，根据等腰三角形的性质求出OC⊥AB，根据切
线的判定得出即可；
（2）解直角三角形求出OC，即可求出答案．
解答： （1）证明：连接OC，
∵OA=OB，CA=CB，
∴OC⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．
（2）解：∵由（1）得 OC⊥AB，
∴∠ACO=90°，
∴OC=AC▪tan34°=6×tan34°≈4.047，
∴⊙O的周长=2π▪OC=2×3.142×4.047≈25.43．
点评： 本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形的性质，主要考查学生的计算和推理能力，题目比较好，难度适中．
24．（10分）（2014•南平）如图，已知反比例函数y=
与一次函数y=kx+b的图象相交于A（4，1）、B（a，2）两点，一次函数的图象与y轴的交点为C．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）若点D的坐标为（1，0），求△ACD的面积．
考点： 反比例函数与一次函数的交点问题．
分析： （1）把点A、B的坐标代入反比例函数解析式，求得m、a的值；然后把点A、B的坐标分别代入一次函数解析式来求k、b的值；
（2）利用一次函数图象上点的坐标特征求得点C的坐标；然后由S△ACD=S梯形AEOC﹣S△COD﹣S△DEA进行解答．
解答： 解：（1）∵点A（4，1）在反比例函数
上，
∴
∴k=4×1=4，
∴
．
把B（a，2）代入，得
2=
，
∴a=2，
∴B（2，2）．
∵把A（4，1），B（2，2）代入y=kx+b
∴
解得
，
∴一次函数的解析式为
；
（2）∵点C在直线AB上，
∴当x=0时，y=3，
∴C（0，3）
过A作AE⊥x轴于E．
∴S△ACD=S梯形AEOC﹣S△COD﹣S△DEA=
=5．
点评： 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．解题时，注意“数形结合”数学思想的应用．
25．（12分）（2014•南平）如图，已知抛物线y=﹣
+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若C（m，m﹣1）是抛物线上位于第一象限内的点，D是线段AB上的一个动点（不与A、B重合），过点D分别作DE∥BC交AC于E，DF∥AC交BC于F．
①求证：四边形DECF是矩形；
②连结EF，线段EF的长是否存在最小值？若存在，求出EF的最小值；若不存在，请说明理由．
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）根据待定系数法即可求得；
（2）把C（m，m﹣1）代入
求得点C的坐标，从而求得AH=4，CH=2，BH=1，AB=5，然后根据
，∠AHC=∠BHC=90°得出△AHC∽△CHB，根据相似三角形的对应角相等求得∠ACH=∠CBH，因为∠CBH+∠BCH=90°所以∠ACH+∠BCH=90°从而求得∠ACB=90°，先根据有两组对边平行的四边形是平行四边形求得四边形DECF是平行四边形，进而求得□DECF是矩形；
（3）根据矩形的对角线相等，求得EF=CD，因为当CD⊥AB时，CD的值最小，此时CD的值为2，所以EF的最小值是2；
解答： （1）∵抛物线y=﹣+bx+c图象经过A（﹣1，0），B（4，0）两点，
∴根据题意，得
，
解得 
，
所以抛物线的解析式为：
；
（2）①证明：∵把C（m，m﹣1）代入得
∴
，
解得：m=3或m=﹣2，
∵C（m，m﹣1）位于第一象限，
∴
，
∴m＞1，
∴m=﹣2舍去，
∴m=3，
∴点C坐标为（3，2），
由A（﹣1，0）、B（3，0）、C（3，2）得 AH=4，CH=2，BH=1，AB=5
过C点作CH⊥AB，垂足为H，则∠AHC=∠BHC=90°，
∵
，∠AHC=∠BHC=90°
∴△AHC∽△CHB，
∴∠ACH=∠CBH，
∵∠CBH+∠BCH=90°
∴∠ACH+∠BCH=90°
∴∠ACB=90°，
∵DE∥BC，DF∥AC，
∴四边形DECF是平行四边形，
∴□DECF是矩形；
②存在；
连接CD
∵四边形DECF是矩形，
∴EF=CD，
当CD⊥AB时，CD的值最小，
∵C（3，2），
∴DC的最小值是2，
∴EF的最小值是2；
点评： 本题考查了待定系数法求解析式，抛物线上点的坐标的求法，三角形相似的判定和性质，矩形的判定和性质等，本题是二次函数的综合性题，其难点是三角形相似的判定：两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；
26．（14分）（2014•南平）在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C重合），M在BC的延长线上．
（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．
①求证：△ABP≌△ACE．
②∠ECM的度数为 60 °．
（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM的度数为 45 °．
②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM的度数为 36 °．
（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．
考点： 四边形综合题．
分析： （1）①由△ABC与△APE均为正三角形得出相等的角与边，即可得出△ABP≌△ACE．
②由△ABP≌△ACE，得出∠ACE=∠B=60°，即可得出∠ECM的度数．
（2）①作EN⊥BN，交BM于点N，由△ABP≌△ACE，利用角及边的关系，得出CN=EN，即可得出∠ECM的度数．
②作EN⊥BN，交BM于点N，由△ABP≌△ACE，得出角及边的关系，得出CN=EN，即可得出∠ECM的度数．
（3）过E作EK∥CD，交BM于点K，由正多边形的性质可得出△ABP≌△PKE，利用角及边的关系，得出CK=KE，即△EKC是等腰三角形，根据多边形的内角即可求出∠ECM的度数．
解答： 解：（1）①证明：如图1，
∵△ABC与△APE均为正三角形，
∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，
∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAE﹣∠PAC
即∠BAP=∠CAE，
在△ABP和△ACE中，
，
∴△ABP≌△ACE （SAS）．
②∵△ABP≌△ACE，
∴∠ACE=∠B=60°，
∵∠ACB=60°，
∠ECM=180°﹣60°﹣60°=60°．
故答案为：60．
（2）①如图2，作EN⊥BN，交BM于点N
∵四边形ABCD和APEF均为正方形，
∴AP=PE，∠B=∠ENP=90°，
∴∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=90°，
即∠BAP=∠NPE，
在△ABP和△PNE中，
，
∴△ABP≌△ACE （AAS）．
∴AB=PN，BP=EN，
∵BP+PC=PC+CN=AB，
∴BP=CN，
∴CN=EN，
∴∠ECM=∠CEN=45°
②如图3，作EN∥CD交BM于点N，
∵五边形ABCDF和APEGH均为正五边方形，
∴AP=PE，∠B=∠BCD，
∵EN∥CD，
∴∠PNE=∠BCD，
∴∠B=∠PNE
∵∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=180°﹣∠B，
即∠BAP=∠NPE，
在△ABP和△PNE中，
，
∴△ABP≌△ACE （AAS）．
∴AB=PN，BP=EN，
∵BP+PC=PC+CN=AB，
∴BP
=CN，
∴CN=EN，
∴∠NCE=∠NEC，
∵∠CNE=∠BCD=108°，
∴∠ECM=∠CEN=
（180°﹣∠CNE）=×（180°﹣108°）=36°．
故答案为：45，36．
（3）如图4中，过E作EK∥CD，交BM于点K，
∵n边形ABC…和n边形APE…为正n边形，
∴AB=BC AP=PE
∠ABC=∠BCD=∠APE=
∵∠APK=∠ABC+∠BAP，∠APK=∠APE+∠EPK
∴∠BAP=∠KPE
∵EK∥CD，
∴∠BCD=∠PKE
∴∠ABP=∠PKE，
在△ABP和△PKE中，
，
∴△ABP≌△PKE（AAS）
∴BP=EK，AB=PK，
∴BC=PK，
∴BC﹣PC=PK﹣PC，
∴BP=CK，
∴CK=KE，
∴∠KCE=∠KEC，
∵∠CKE=∠BCD=
∴∠ECK=
．
点评： 本题主要考查了四边形综合题，涉及三角形全等的判定及性质，正多边形的内角及等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等求出对应边相等．
