26．（10分）（2013•宿迁）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，边AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接BE．

（1）若∠C=30°，求证：BE是△DEC外接圆的切线；

（2）若BE=，BD=1，求△DEC外接圆的直径．

考点： 切线的判定．

专题： 证明题．

分析： （1）根据线段垂直平分线的性质由DE垂直平分AC得∠DEC=90°，AE=CE，利用圆周角定理得到DC为△DEC外接圆的直径；取DC的中点O，连结OE，根据直角三角形斜边上的中线性质得EB=EC，得∠C=∠EBC=30°，则∠EOC=2∠C=60°，可计算出∠BEO=90°，然后根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）由BE为Rt△ABC斜上的中线得到AE=EC=BE=，易证得Rt△CED∽Rt△CBA，则=，然后利用相似比可计算出△DEC外接圆的直径CD．

解答： （1）证明：∵DE垂直平分AC，

∴∠DEC=90°，AE=CE，

∴DC为△DEC外接圆的直径，

取DC的中点O，连结OE，如图，

∵∠ABC=90°，

∴BE为Rt△ABC斜上的中线，

∴EB=EC，

∵∠C=30°，

∴∠EBC=30°，∠EOC=2∠C=60°，

∴∠BEO=90°，

∴OD⊥BE，

而BE为⊙O的半径，

∴BE是△DEC外接圆的切线；

（2）解：∵BE为Rt△ABC斜上的中线，

∴AE=EC=BE=，

∴AC=2，

∵∠ECD=∠BCA，

∴Rt△CED∽Rt△CBA，

∴=，

而CB=CD+BD=CD+1，

∴=，

解得CD=2或CD=﹣3（舍去），

∴△DEC外接圆的直径为2．

点评： 本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点，与半径垂直的直线为圆的切线．也考查了线段垂直平分线的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及三角形相似的判定与性质．

27．（12分）（2013•宿迁）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx﹣3（a，b是常数）的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点P、Q．

（1）求a和b的值；

（2）求t的取值范围；

（3）若∠PCQ=90°，求t的值．

考点： 二次函数综合题．

专题： 综合题．

分析： （1）将点A、点B的坐标代入二次函数解析式可求出a、b的值；

（2）根据二次函数及y=t，可得出方程，有两个交点，可得△＞0，求解t的范围即可；

（3）证明△PDC∽△CDQ，利用相似三角形的对应边成比例，可求出t的值．

解答： 解：（1）将点A、点B的坐标代入可得：，

解得：；

（2）抛物线的解析式为y=x2+2x﹣3，直线y=t，

联立两解析式可得：x2+2x﹣3=t，即x2+2x﹣（3+t）=0，

∵动直线y=t（t为常数）与抛物线交于不同的两点，

∴△=4+4（3+t）＞0，

解得：t＞﹣4；

（3）∵y=x2+2x﹣3=（x+1）2﹣4，

∴抛物线的对称轴为直线x=1，

当x=0时，y=﹣3，∴C（0，﹣3）．

设点Q的坐标为（m，t），则P（﹣2﹣m，t）．

如图，设PQ与y轴交于点D，则CD=t+3，DQ=m，DP=m+2．

∵∠PCQ=∠PCD+∠QCD=90°，∠DPC+∠PCD=90°，

∴∠QCD=∠DPC，又∠PDC=∠QDC=90°，

∴△QCD∽△CDP，

∴，即，

整理得：t2+6t+9=m2+2m，

∵Q（m，t）在抛物线上，∴t=m2+2m﹣3，∴m2+2m=t+3，

∴t2+6t+9=t+3，化简得：t2+5t+6=0

解得t=﹣2或t=﹣3，

当t=﹣3时，动直线y=t经过点C，故不合题意，舍去．

∴t=﹣2．

点评： 本题是二次函数综合题型，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、解一元二次方程等知识点．第（3）问中，注意抛物线上点的坐标特征．

28．（12分）（2013•宿迁）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，且AB=10，BC=6，CD=2．点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿EF所在的直线折叠得到△GEF，直线FG、EG分别交AD于点M、N，当EG过点D时，点E即停止运动．设BE=x，△GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y．

（1）证明△AMF是等腰三角形；

（2）当EG过点D时（如图（3）），求x的值；

（3）将y表示成x的函数，并求y的最大值．

考点： 相似形综合题．

分析： （1）由条件EF∥AD就可以得出∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF，由△GFE与△BFE关于EF对称可以得出∠GFE=∠BFE，就可以得出∠A=∠AMF，从而得出结论；

（2）当EG过点D时在Rt△EDC中由勾股定理建立方程求出其解即可；

（3）分情况讨论当点G不在梯形外时和点G在梯形之外两种情况求出x的值就可以求出y与x之间的函数关系式，在自变量的取值范围内就可以求出相应的最大值，从而求出结论；

解答： （1）证明：如图1，∵EF∥AD，

∴∠A=∠EFB，∠GFE=∠AMF．

∵△GFE与△BFE关于EF对称，

∴△GFE≌△BFE，

∴∠GFE=∠BFE，

∴∠A=∠AMF，

∴△AMF是等腰三角形；

（2）解：如图1，作DQ⊥AB于点Q，

∴∠AQD=∠DQB=90°．

∴AB∥DC，

∴∠CDQ=90°．

∴∠B=90°，

∴四边形CDQB是矩形，

∴CD=QB=2，QD=CB=6，

∴AQ=10﹣2=8．

在Rt△ADQ中，由勾股定理得

AD==10，

∴tan∠A=，

∴tan∠EFB==

如图3，∵EB=x，

∴FB=x，CE=6﹣x，

∴AF=MF=10﹣x，

∴GM=，

∴GD=2x﹣，

∴DE=﹣x，

在Rt△CED中，由勾股定理得

（﹣x）2﹣（6﹣x）2=4，

解得：x=，

∴当EG过点D时x=；

（3）解：当点G在梯形ABCD内部或边AD上时，

y=x•x=x2，

当点G在边AD上时，易求得x=，

此时0＜x≤，

则当x=时，y最大值为．

当点G在梯形ABCD外时，

∵△GMN∽△GFE，

∴，

即，由（2）知，x≤

y═﹣2x2+20x﹣=﹣2（x﹣5）2+（＜x≤），

当x=5时，y最大值为，

由于＞，故当x=5时，y最大值为．

点评： 本题考查了等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，函数的解析式的性质的运用，分段函数的运用，三角函数值的运用，解答时求分段函数的解析式是难点．

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