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24．（6分）（2013•大庆）如图，平面直角坐标系中，以点C（2，
）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．
考点： 垂径定理；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理．
专题： 计算题．
分析： （1）连结AC，过点C作CM⊥x轴于点M，根据垂径定理得MA=MB；由C点坐标得到OM=2，CM=，再根据勾股定理可计算出AM，可可计算出OA、OB，然后写出A，B两点的坐标；
（2）利用待定系数法求二次函数的解析式．
解答： 解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，则MA=MB，连结AC，如图
∵点C的坐标为（2，），
∴OM=2，CM=，
在Rt△ACM中，CA=2，
∴AM=
=1，
∴OA=OM﹣AM=1，OB=OM+BM=3，
∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0）；
（2）将A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c得
，
解得
．
所以二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3．
点评： 本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理和待定系数法求二次函数的解析式．
25．（8分）（2013•大庆）如图所示，AB是半圆O的直径，AB=8，以AB为一直角边的直角三角形ABC中，∠CAB=30°，AC与半圆交于点D，过点D作BC的垂线DE，垂足为E．
（1）求DE的长；
（2）过点C作AB的平行线l，l与BD的延长线交于点F，求
的值．
考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形．
分析： （1）先由圆周角定理得出∠ADB=90°，再解Rt△ABD，得出BD=4，然后解Rt△BDE，即可求出DE的长；
（2）先由DE⊥BC，AB⊥BC，得出DE∥AB，根据平行线分线段成比例定理得出
=
，则DA=3CD，再证明△FCD∽△BAD，根据相似三角形对应边成比例即可求出的值．
解答： 解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ADB=90°．
在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠DAB=30°，AB=8，
∴BD=
AB=4．
在Rt△BDE中，∠DEB=90°，∠DBE=30°，BD=4，
∴DE=BD=2；
（2）∵DE⊥BC，AB⊥BC，
∴DE∥AB，
∴=
=
=
，
∴CA=4CD，
∴DA=3CD．
∵CF∥AB，
∴∠FCD=∠BAD，∠DFC=∠DBA，
∴△FCD∽△BAD，
∴
=
=
=
．
点评： 本题考查了圆周角定理，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，难度适中，求出DE的长，进而得到DA=3CD是解题的关键．
26．（8分）（2013•大庆）随机抛掷图中均匀的正四面体（正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字），并且自由转动图中的转盘（转盘被分成面积相等的五个扇形区域）．
（1）求正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率；
（2）设正四面体着地的数字为a，转盘指针所指区域内的数字为b，求关于x的方程ax2+3x+
=0有实数根的概率．
考点： 列表法与树状图法；根的判别式．
分析： （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
（2）由根的判别式得出方程ax2+3x+=0有实数根的所有情况，利用概率公式求解即可求得答案．
解答： 解；（1）画树状图得出：
总共有20种结果，每种结果出现的可能性相同，
正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的有3种情况，
故正四面体着地的数字与转盘指针所指区域的数字之积为4的概率为：
；
（2）∵方程ax2+3x+
=0有实数根的条件为：9﹣ab≥0，
∴满足ab≤9的结果共有14种：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（2，1），（2，2），
（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2）
∴关于x的方程ax2+3x+=0有实数根的概率为：
=
．
点评： 此题主要考查了根的判别式和树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
27．（9分）（2013•大庆）对于钝角α，定义它的三角函数值如下：
sinα=sin（180°﹣α），cosα=﹣cos（180°﹣α）
（1）求sin120°，cos120°，sin150°的值；
（2）若一个三角形的三个内角的比是1：1：4，A，B是这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的大小．
考点： 特殊角的三角函数值；一元二次方程的解
专题： 新定义．
分析： （1）按照题目所给的信息求解即可；
（2）分三种情况进行分析：①当∠A=30°，∠B=120°时；②当∠A=120°，∠B=30°时；③当∠A=30°，∠B=30°时，根据题意分别求出m的值即可．
解答： 解：（1）由题意得，
sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=
，
cos120°=﹣cos（180°﹣120°）=﹣cos60°=﹣
，
sin150°=sin（180°﹣150°）=sin30°=；
（2）∵三角形的三个内角的比是1：1：4，
∴三个内角分别为30°，30°，120°，
①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣，
将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，
解得：m=0，
经检验﹣是方程4x2﹣1=0的根，
∴m=0符合题意；
②当∠A=120°，∠B=30°时，两根为
，，不符合题意；
③当∠A=30°，∠B=30°时，两根为
，，
将代入方程得：4×（）2﹣m×﹣1=0，
解得：m=0，
经检验不是方程4x2﹣1=0的根．
综上所述：m=0，∠A=30°，∠B=120°．
点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是按照题目所给的运算法则求出三角函数的值和运用分类讨论的思想解题，难度一般．
28．（9分）（2013•大庆）如图所示，在直角梯形ABCD中，AB为垂直于底边的腰，AD=1，BC=2，AB=3，点E为CD上异于C，D的一个动点，过点E作AB的垂线，垂足为F，△ADE，△AEB，△BCE的面积分别为S1，S2，S3．
（1）设AF=x，试用x表示S1与S3的乘积S1S3，并求S1S3的最大值；
（2）设
=t，试用t表示EF的长；
（3）在（2）的条件下，当t为何值时，
=4S1S3．
考点： 相似形综合题
专题： 探究型．
分析： （1）直接根据三角形的面积公式解答即可；
（2）作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，根据
=t，可知AF=tFB，再由BM=MC=AD=1可得出
=
=
=
=
，所以NE=
，根据EF=FN+NE即可得出结论；
（3）根据AB=AF+FB=（t+1）FB=3，可得出FB=
，故可得出AF=tFB=
，根据三角形的面积公式可用t表示出S1，S3，S2，由s22=4S1S3．即可得出t的值．
解答： 解：（1）∵S1=
AD•AF=x，
S3=BC•BF=×2×（3﹣x）=3﹣x，
∴S1S3=x（3﹣x）
=
（﹣x2+3x）
=[﹣（x﹣
）2+
]
=﹣（x﹣）2+
（0＜x＜3），
∴当x=时，S1S3的最大值为
；
（2）作DM⊥BC，垂足为M，DM与EF交与点N，
∵
=t，
∴AF=tFB，
∵BM=MC=AD=1，
∴
=
=
=
=
，
∴NE=
，
∴EF=FN+NE=1+=
；
（3）∵AB=AF+FB=（t+1）FB=3，
∴FB=
，
∴AF=tFB=
，
∴S1=
AD•AF=×=
，
S3=
BC•FB=×2×
=；
S2=AB•FE=×3×
=
，
∴S1S3=
，S22=
，
∴
=4×
，即4t2﹣4t+1=0，解得t=
．
点评： 本题考查的是相似形综合题，熟知三角形的面积公式、二次函数的最值问题等相关知识是解答此题的关键．
