21．（9分）（2013•威海）某单位招聘员工，采取笔试与面试相结合的方式进行，两项成绩的原始分均为100分．前6名选手的得分如下：

根据规定，笔试成绩和面试成绩分别按一定的百分比折和成综合成绩（综合成绩的满分仍为100分）

（1）这6名选手笔试成绩的中位数是　84.5　分，众数是　84　分．

（2）现得知1号选手的综合成绩为88分，求笔试成绩和面试成绩个占的百分比．

（3）求出其余五名选手的综合成绩，并以综合成绩排序确定前两名人选．

考点： 加权平均数；中位数；众数；统计量的选择．

分析： （1）根据中位数和众数的定义即把这组数据从小到大排列，再找出最中间两个数的平均数就是中位数，再找出出现的次数最多的数即是众数；

（2）先设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是x，y，根据题意列出方程组，求出x，y的值即可；

（3）根据笔试成绩和面试成绩各占的百分比，分别求出其余五名选手的综合成绩，即可得出答案．

解答： 解：（1）把这组数据从小到大排列为，80，84，84，85，90，92，

最中间两个数的平均数是（84+85）÷2=84.5（分），

则这6名选手笔试成绩的中位数是84.5，

84出现了2次，出现的次数最多，

则这6名选手笔试成绩的众数是84；

故答案为：84.5，84；

（2）设笔试成绩和面试成绩各占的百分百是x，y，根据题意得：

，

解得：，

笔试成绩和面试成绩各占的百分比是40%，60%；

（3）2号选手的综合成绩是92×0.4+88×0.6=89.6（分），

3号选手的综合成绩是84×0.4+86×0.6=85.2（分），

4号选手的综合成绩是90×0.4+90×0.6=90（分），

5号选手的综合成绩是84×0.4+80×0.6=81.6（分），

6号选手的综合成绩是80×0.4+85×0.6=83（分），

则综合成绩排序前两名人选是4号和2号．

点评： 此题考查了加权平均数，用到的知识点是中位数、众数、加权平均数的计算公式，关键灵活运用有关知识列出算式．

22．（9分）（2013•威海）如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，AB=2，与y轴交于点C，对称轴为直线x=2．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）设P为对称轴上一动点，求△APC周长的最小值；

（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A，B，D，E为顶点的四边形是菱形，则点D的坐标为　（2，﹣1）　．

考点： 二次函数综合题

分析： （1）根据抛物线对称轴的定义易求A（1，0），B（3，0）．所以1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根．由韦达定理易求b、c的值；

（2）如图，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．根据抛物线的对称性质得到PA=PB，则△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC，所以根据两点间的距离公式来求该三角形的周长的最小值即可；

（3）如图2，点D是抛物线的顶点，所以根据抛物线解析式利用顶点坐标公式即可求得点D的坐标．

解答： 解：（1）如图，∵AB=2，对称轴为直线x=2．

∴点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（3，0）．

∵抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A，B，

∴1、3是关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两根．

由韦达定理，得

1+3=﹣b，1×3=c，

∴b=﹣4，c=3，

∴抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3；

（2）如图1，连接AC、BC，BC交对称轴于点P，连接PA．

由（1）知抛物线的函数表达式为y=x2﹣4x+3，A（1，0），B（3，0），

∴C（0，3），

∴BC==3，AC==．

∵点A、B关于对称轴x=2对称，

∴PA=PB，

∴PA+PC=PB+PC．

此时，PB+PC=BC．

∴点P在对称轴上运动时，（PA+PB）的最小值等于BC．

∴△APC的周长的最小值=AC+AP+PC=AC+BC=3+；

（3）如图2，根据“菱形ADBE的对角线互相垂直平分，抛物线的对称性”得到点D是抛物线y=x2﹣4x+3的顶点坐标，即（2，﹣1）．

故答案是：（2，﹣1）．

点评： 本题考查了二次函数综合题．解题过程中用到的知识点有：待定系数法求二次函数的解析式，轴对称﹣﹣两点间距离最短，菱形的性质．解（1）题时，也可以把点A、B的坐标代入抛物线解析式，列出关于系数b、c的方程组，通过解方程组来求它们的值．

23．（10分）（2013•威海）要在一块长52m，宽48m的矩形绿地上，修建同样宽的两条互相垂直的甬路．下面分别是小亮和小颖的设计方案．

（1）求小亮设计方案中甬路的宽度x；

（2）求小颖设计方案中四块绿地的总面积（友情提示：小颖设计方案中的与小亮设计方案中的取值相同）

考点： 一元二次方程的应用；解直角三角形的应用．

专题： 几何图形问题．

分析： （1）根据小亮的方案表示出矩形的长和宽，利用矩形的面积公式列出方程求解即可；

（2）求得甬道的宽后利用平行四边形的面积计算方法求得两个阴影部分面积的和即可；

解答： 解：（1）根据小亮的设计方案列方程得：（52﹣x）（48﹣x）=2300

解得：x=2或x=98（舍去）

∴小亮设计方案中甬道的宽度为2m；

（2）作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分别为I，J，

∵AB∥CD，∠1=60°，

∴∠ADI=60°，

∵BC∥AD，

∴四边形ADCB为平行四边形，

∴BC=AD

由（1）得x=2，

∴BC=HE=2=AD

在Rt△ADI中，AI=2sin60°=

∴小颖设计方案中四块绿地的总面积为52×48﹣52×2﹣48×2+（）2=2299平方米．

点评： 本题考查了一元二次方程的应用，特别是图形的面积问题更是近几年中考中考查一元二次方程的应用的主要题型．

24．（11分）（2013•威海）操作发现

将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．

问题解决

将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连接CD，如图②．

（1）求证：△CDO是等腰三角形；

（2）若DF=8，求AD的长．

考点： 等腰直角三角形；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质．

分析： （1）根据题意可得BC=DE，进而得到∠BDC=∠BCD，再根据三角形内角和定理计算出度数，然后再根据三角形内角与外角的性质可得∠DOC=∠DBC+∠BCA，进而算出度数，根据角度可得△CDO是等腰三角形；

（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，首先根据∠F=60°，DF=8，可以算出DH=4，HF=4，DB=8，BF=16，进而得到BC=8，再根据等腰三角形的性质可得BG=AG=4，证明四边形AGHD为矩形，根据线段的和差关系可得AD长．

解答： 解；（1）由图①知BC=DE，∴∠BDC=∠BCD，

∵∠DEF=30°，

∴∠BDC=∠BCD=75°，

∵∠ACB=45°，

∴∠DOC=30°+45°=75°，

∴∠DOC=∠BDC，

∴△CDO是等腰三角形；

（2）作AG⊥BC，垂足为点G，DH⊥BF，垂足为点H，

在Rt△DHF中，∠F=60°，DF=8，∴DH=4，HF=4，

在Rt△BDF中，∠F=60°，DF=8，∴DB=8，BF=16，

∴BC=BD=8，

∵AG⊥BC，∠ABC=45°，

∴BG=AG=4，

∴AG=DH，

∵AG∥DH，

∴四边形AGHD为矩形，

∴AD=GH=BF﹣BG﹣HF=16﹣4﹣4=12﹣4．

点评： 此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是掌握如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．

25．（12分）（2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．

（1）求点A，B的坐标；

（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；

（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，列出方程组，通过解该方程组即可求得点A的坐标；根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=﹣x，则，通过解该方程组来求点B的坐标即可；

（2）把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组即可求得该抛物线的解析式；

（3）如图，作DN⊥x轴于点N．欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可．

解答： 解：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，得

，

解得，，

∴点A的坐标是（3，3）．

∵∠BOA=90°，

∴OB⊥OA，

∴直线OB的解析式为y=﹣x．

又∵点B在直线y=x+上，

∴，

解得，，

∴点B的坐标是（﹣1，1）．

综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）．

（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）．

∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，

∴，

解得，，

∴该抛物线的解析式为y=x2﹣x，或y=（x﹣）2﹣．

∴顶点E的坐标是（，﹣）；

（3）OD与CF平行．理由如下：

由（2）知，抛物线的对称轴是x=．

∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，

∴C（，）．

设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（﹣1，1），C（，）代入，得

，

解得，，

∴直线BC的解析式为y=﹣x+．

∵直线BC与抛物线交于点B、D，

∴﹣x+=x2﹣x，

解得，x1=，x2=﹣1．

把x1=代入y=﹣x+，得y1=，

∴点D的坐标是（，）．

如图，作DN⊥x轴于点N．

则tan∠DON==．

∵FE∥x轴，点E的坐标为（，﹣）．

∴点F的纵坐标是﹣．

把y=﹣代入y=x+，得x=﹣，

∴点F的坐标是（﹣，﹣），

∴EF=+=．

∵CE=+=，

∴tan∠CFE==，

∴∠CFE=∠DON．

又∵FE∥x轴，

∴∠CMN=∠CFE，

∴∠CMN=∠DON，

∴OD∥CF，即OD与CF平行．

点评： 本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点．此题难度较大．

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