五、（本题10分）

22．（10分）（2013•沈阳）如图，OC平分∠MON，点A在射线OC上，以点A为圆心，半径为2的⊙A与OM相切与点B，连接BA并延长交⊙A于点D，交ON于点E．

（1）求证：ON是⊙A的切线；

（2）若∠MON=60°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）

考点： 切线的判定；扇形面积的计算．

分析： （1）首先过点A作AF⊥ON于点F，易证得AF=AB，即可得ON是⊙A的切线；

（2）由∠MON=60°，AB⊥OM，可求得AF的长，又由S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF，即可求得答案．

解答： （1）证明：过点A作AF⊥ON于点F，

∵⊙A与OM相切与点B，

∴AB⊥OM，

∵OC平分∠MON，

∴AF=AB=2，

∴ON是⊙A的切线；

（2）解：∵∠MON=60°，AB⊥OM，

∴∠OEB=30°，

∴AF⊥ON，

∴∠FAE=60°，

在Rt△AEF中，tan∠FAE=，

∴AF=AF•tan60°=2，

∴S阴影=S△AEF﹣S扇形ADF=AF•EF﹣×π×AF2=2﹣π．

点评： 此题考查了切线的判定与性质、扇形的面积以及三角函数的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

六、（本题12分）

23．（12分）（2013•沈阳）某市对火车站进行了大规模的改建，改建后的火车站除原有的普通售票窗口外，新增了自动打印车票的无人售票窗口．某日，从早8点开始到上午11点，每个普通售票窗口售出的车票数y1（张）与售票时间x（小时）的正比例函数关系满足图①中的图象，每个无人售票窗口售出的车票数y2（张）与售票时间x（小时）的函数关系满足图②中的图象．

（1）图②中图象的前半段（含端点）是以原点为顶点的抛物线的一部分，根据图中所给数据确定抛物线的表达式为　60x2　，其中自变量x的取值范围是　0≤x≤　；

（2）若当天共开放5个无人售票窗口，截至上午9点，两种窗口共售出的车票数不少于1450张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？

（3）上午10点时，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同，试确定图②中图象的后半段一次函数的表达式．

考点： 二次函数的应用；一次函数的应用

分析： （1）设函数的解析式为y=ax2，然后把点（1，60）代入解析式求得a的值，即可得出抛物线的表达式，根据图象可得自变量x的取值范围；

（2）设需要开放x个普通售票窗口，根据售出车票不少于1450，列出不等式解不等式，求最小整数解即可；

（3）先求出普通窗口的函数解析式，然后求出10点时售出的票数，和无人售票窗口当x=时，y的值，然后把运用待定系数法求解析式即可．

解答： 解：（1）设函数的解析式为y=ax2，

把点（1，60）代入解析式得：a=60，

则函数解析式为：y=60x2（0≤x≤）；

（2）设需要开放x个普通售票窗口，

由题意得，80x+60×5≥1450，

解得：x≥14，

∵x为整数，

∴x=15，

即至少需要开放15个普通售票窗口；

（3）设普通售票的函数解析式为y=kx，

把点（1，80）代入得：k=80，

则y=80x，

∵10点是x=2，

∴当x=2时，y=160，

即上午10点普通窗口售票为160张，

由（1）得，当x=时，y=135，

∴图②中的一次函数过点（，135），（2，160），

设一次函数的解析式为：y=mx+n，

把点的坐标代入得：，

解得：，

则一次函数的解析式为y=50x+60．

点评： 本题考查了二次函数及一次函数的应用，解答本题的关键是根据题意找出等量关系求出函数解析式，培养学生的读图能力以及把生活中的实际问题转化为数学问题来解决．

七、（本题12分）

24．（12分）（2013•沈阳）定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．

性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．

理解：如图①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD=S△BCD．

应用：如图②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E在AD上，点F在BC上，AE=BF，AF与BE交于点O．

（1）求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；

（2）连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．

探究：在△ABC中，∠A=30°，AB=4，点D在线段AB上，连接CD，△ACD和△BCD是“友好三角形”，将△ACD沿CD所在直线翻折，得

到△A′CD，若△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，请直接写出△ABC的面积．

考点： 四边形综合题

分析： （1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得到四边形ABFE是平行四边形，然后根据平行四边形的性质证得OE=OB，即可证得△AOE和△AOB是友好三角形；

（2）△AOE和△DOE是“友好三角形”，即可得到E是AD的中点，则可以求得△ABE、△ABF的面积，根据S四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF即可求解．

探究：画出符合条件的两种情况：①求出四边形A′DCB是平行四边形，求出BC和A′D推出∠ACB=90°，根据三角形面积公式求出即可；②求出高CQ，求出△A′DC的面积．即可求出△ABC的面积．

②

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∵AE=BF，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∴OE=OB，

∴△AOE和△AOB是友好三角形．

（2）解：∵△AOE和△DOE是友好三角形，

∴S△AOE=S△DOE，AE=ED=AD=3，

∵△AOB与△AOE是友好三角形，

∴S△AOB=S△AOE．

∵△AOE≌△FOB，

∴S△AOE=S△FOB，

∴S△AOD=S△ABF，

∴S四边形CDOF=S矩形ABCD﹣2S△ABF=4×6﹣2××4×3=12．

探究：

解：分为两种情况：①如图1，

∵S△ACD=S△BCD．

∴AD=BD=AB，

∵沿CD折叠A和A′重合，

∴AD=A′D=AB=4=2，

∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，

∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，

∴DO=OB，A′O=CO，

∴四边形A′DCB是平行四边形，

∴BC=A′D=2，

过B作BM⊥AC于M，

∵AB=4，∠BAC=30°，

∴BM=AB=2=BC，

即C和M重合，

∴∠ACB=90°，

由勾股定理得：AC==2，

∴△ABC的面积是×BC×AC=×2×2=2；

②如图2，

∵S△ACD=S△BCD．

∴AD=BD=AB，

∵沿CD折叠A和A′重合，

∴AD=A′D=AB=4=2，

∵△A′CD与△ABC重合部分的面积等于△ABC面积的，

∴S△DOC=S△ABC=S△BDC=S△ADC=S△A′DC，

∴DO=OA′，BO=CO，

∴四边形A′DCB是平行四边形，

∴BD=A′C=2，

过C作CQ⊥A′D于Q，

∵A′C=2，∠DA′C=∠BAC=30°，

∴CQ=A′C=1，

∴S△ABC=2S△ADC=2S△A′DC=2××A′D×CQ=2××2×1=2；

即△ABC的面积是2或2．

点评： 本题考查了平行四边形性质和判定，三角形的面积，勾股定理的应用，解这个题的关键是能根据已知题意和所学的定理进行推理．题目比较好，但是有一定的难度．

八、（本题14分）

25．（14分）（2013•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c经过点A（，0）和点B（1，），与x轴的另一个交点为C．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D在对称轴的右侧，x轴上方的抛物线上，且∠BDA=∠DAC，求点D的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接BD，交抛物线对称轴于点E，连接AE．

①判断四边形OAEB的形状，并说明理由；

②点F是OB的中点，点M是直线BD的一个动点，且点M与点B不重合，当∠BMF=∠MFO时，请直接写出线段BM的长．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；

（2）由∠BDA=∠DAC，可知BD∥x轴，点B与点D纵坐标相同，解一元二次方程求出点D的坐标；

（3）①由BE与OA平行且相等，可判定四边形OAEB为平行四边形；

②点M在点B的左右两侧均有可能，需要分类讨论．综合利用相似三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，求出线段BM的长度．

解答： 解：（1）将A（，0）、B（1，）代入抛物线解析式y=x2+bx+c，得：

，

解得：．

∴y=x2x+．

（2）当∠BDA=∠DAC时，BD∥x轴．

∵B（1，），

当y=时，=x2x+，

解得：x=1或x=4，

∴D（4，）．

（3）①四边形OAEB是平行四边形．

理由如下：抛物线的对称轴是x=，

∴BE=﹣1=．

∵A（，0），

∴OA=BE=．

又∵BE∥OA，

∴四边形OAEB是平行四边形．

②∵O（0，0），B（1，），F为OB的中点，∴F（，）．

过点F作FN⊥直线BD于点N，则FN=﹣=，BN=1﹣=．

在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF==．

∵∠BMF=∠MFO，∠MFO=∠FBM+∠BMF，

∴∠FBM=2∠BMF．

（I）当点M位于点B右侧时．

在直线BD上点B左侧取一点G，使BG=BF=，连接FG，则GN=BG﹣BN=1，

在Rt△FNG中，由勾股定理得：FG==．

∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG．

又∵∠FBM=∠BGF+∠BFG=2∠BMF，

∴∠BFG=∠BMF，又∵∠MGF=∠MGF，

∴△GFB∽△GMF，

∴，即，

∴BM=；

（II）当点M位于点B左侧时．

设BD与y轴交于点K，连接FK，则FK为Rt△KOB斜边上的中线，

∴KF=OB=FB=，

∴∠FKB=∠FBM=2∠BMF，

又∵∠FKB=∠BMF+∠MFK，

∴∠BMF=∠MFK，

∴MK=KF=，

∴BM=MK+BK=+1=．

综上所述，线段BM的长为或．

点评： 本题是中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、勾股定理等知识点．难点在于第（3）②问，满足条件的点M可能有两种情形，需要分类讨论，分别计算，避免漏解．

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