24．（本小题满分11分）

如图16，△OAB中，OA = OB = 10，∠AOB = 80°，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交OA，OB于点M，N.

（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.

求证：AP = BP′；

（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求点T到OA的距离；

（3）设点Q在优弧上，当△AOQ的面积最大时，直接写出∠BOQ的度数.

解析：

（1）证明：如图2，∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80º+∠BOP.

∠BOP’=∠POP’+∠BOP=80º+∠BOP

∴∠AOP=∠BOP’2分

又∵OA=OB，OP=OP’

∴△AOP≌△BOP’4分

∴AP=BP’5分

（2）解：连接OT，过T作TH⊥OA于点H

∵AT与相切，∴∠ATO=90º6分

∴==87分

∵=,即=

∴TH=，即为所求的距离9分

（3）10º，170º11分

【注：当OQ⊥OA时，△AOQ的面积最大，且左右两半弧上各存在一点】

25．（本小题满分12分）

某公司在固定线路上运输，拟用运营指数Q量化考核司机的工作业绩．Q = W + 100，而W的大小与运输次数n及平均速度x（km/h）有关（不考虑其他因素），W由两部分的和组成：一部分与x的平方成正比，另一部分与x的n倍成正比．试行中得到了表中的数据．

（1）用含x和n的式子表示Q；

（2）当x = 70，Q = 450时，求n的值；

（3）若n = 3，要使Q最大，确定x的值；

（4）设n = 2，x = 40，能否在n增加m%（m＞0）

同时x减少m%的情况下，而Q的值仍为420，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．

参考公式：抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是（－，）

解析：

（1）设，∴

由表中数据，得，解得

∴4分

（2）由题意，得

∴n=2 6分

（3）当n=3时，

由可知，要使Q最大，=909分

（4）由题意，得

10分

即，解得，或=0（舍去）

∴m=5012分

26．（本小题满分14分）

一透明的敞口正方体容器ABCD -A′B′C′D′ 装有一些液体，棱AB始终在水平桌面上，容器底部的倾斜角为α（∠CBE = α，如图17-1所示）．探究 如图17-1，液面刚好过棱CD，并与棱BB′ 交于点Q，此时液体的形状为直三棱柱，其三视图及尺寸如图17-2所示．解决问题：

（1）CQ与BE的位置关系是___________，BQ的长是____________dm；

（2）求液体的体积；（参考算法：直棱柱体积V液 = 底面积SBCQ×高AB）

（3）求α的度数.(注：sin49°＝cos41°＝，tan37°＝)

拓展 在图17-1的基础上，以棱AB为轴将容器向左或向右旋转，但不能使液体溢出，图17-3或图17-4是其正面示意图.若液面与棱C′C或CB交于点P，设PC = x，BQ = y.分别就图17-3和图17-4求y与x的函数关系式，并写出相应的α的范围.

[温馨提示：下页还有题！]

延伸 在图17-4的基础上，于容器底部正中间位置，嵌入一平行于侧面的长方形隔板（厚度忽略不计），得到图17-5，隔板高NM = 1 dm，BM = CM，NM⊥BC.继续向右缓慢旋转，当α = 60°时，通过计算，判断溢出容器的液体能否达到4 dm3.

解析：

探究 （1）CQ∥BE 32分

（2）（dm3）4分

（3）在Rt△BCQ中，tan∠BCQ=

∴=∠BCQ=37º6分

拓展 当容器向左旋转时，如图3,0º≤≤37º7分

∵液体体积不变，∴

∴9分

当容器向右旋转时，如图4，

同理得，10分

当液面恰好到达容器口沿，即点Q与点B’重合时，如图5.

由BB’=4，且，得=3

∴由tan∠=，得∠=37º，∴=∠=53º

此时37º≤≤53º12分

【注：本问的范围中，“≤”为“<”不影响得分】

延伸 当=60º时，如图6所示，设FN∥EB，∥EB

过点G作GH⊥于点H

在Rt△中，GH=MB=2，∠=30º，∴=

∴MG=BH= <MN

此时容器内液体形成两层液面，液体的形状分别是以Rt△NFM和直角梯形为底面的直棱柱

∵△NFM += =

∴= = >4（dm3）

∴溢出液体可以达到4dm3.14分

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