20（本小题满分12分）

已知椭圆的左右焦点分别为，离心率，右准线方程为。

（I）求椭圆的标准方程；

（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。

本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理运算能力。

解：（Ⅰ）有条件有，解得。

。

所以，所求椭圆的方程为。…………………………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知、。

若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1.

将x=-1代入椭圆方程得。

不妨设、，

.

,与题设矛盾。

直线l的斜率存在。

设直线l的斜率为k，则直线的方程为y=k（x+1）。

设、，

联立，消y得。

由根与系数的关系知，从而，

又，，

。

。

化简得

解得

21. （本小题满分12分）

已知函数。

（I）求函数的定义域，并判断的单调性；

（II）若

（III）当（为自然对数的底数）时，设，若函数的极值存在，求实数的取值范围以及函数的极值。

本小题主要考查函数、数列的极限、导数应用等基础知识、考查分类整合思想、推理和运算能力。

解：（Ⅰ）由题意知

当

当

当….（4分）

（Ⅱ）因为

由函数定义域知>0,因为n是正整数，故0

所以

（Ⅲ）

令

① 当m=0时，有实根，在点左右两侧均有故无极值

② 当时，有两个实根

当x变化时，、的变化情况如下表所示：

的极大值为，的极小值为

③ 当时，在定义域内有一个实根，

同上可得的极大值为

综上所述，时，函数有极值；

当时的极大值为，的极小值为

当时，的极大值为

22. （本小题满分14分）

设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。

（I）求数列的通项公式；

（II）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；

（III）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。

本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。

解：（Ⅰ）当时，

又

数列成等比数列，其首项，公比是

……………………………………..3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=

又

当

当

（Ⅲ）由（Ⅰ）知

一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设

则

>

对一切大于1的奇数n恒成立

只对满足的正奇数n成立，矛盾。

另一方面，当时，对一切的正整数n都有

事实上，对任意的正整数k，有

当n为偶数时，设

则

<

当n为奇数时，设

则

<

对一切的正整数n，都有

综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分

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