18.(本小题满分16分)
在平面直角坐标系中,已知圆和圆.
(1)若直线过点,且被圆截得的弦长为,求直线的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线和,它们分别与圆和圆相交,且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,试求所有满足条件的点P的坐标。
【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点到直线的距离公式,考查数学运算求解能力、综合分析问题的能力。满分16分。
(1)设直线的方程为:,即
由垂径定理,得:圆心到直线的距离,
结合点到直线距离公式,得:
化简得:
求直线的方程为:或,即或
(2) 设点P坐标为,直线、的方程分别为:
,即:
因为直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等,两圆半径相等。由垂径定理,得::圆心到直线与直线的距离相等。
故有:,
化简得:
关于的方程有无穷多解,有:
解之得:点P坐标为或。
19.(本小题满分16分)
按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为元,如果他卖出该产品的单价为元,则他的满意度为;如果他买进该产品的单价为元,则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为和,则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A、B的单价分别为元和元,甲买进A与卖出B的综合满意度为,乙卖出A与买进B的综合满意度为
(1)求和关于、的表达式;当时,求证:=;
(2)设,当、分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?
(3)记(2)中最大的综合满意度为,试问能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。
【解析】 本小题主要考查函数的概念、基本不等式等基础知识,考查数学建模能力、抽象概括能力以及数学阅读能力。满分16分。
(1)
当时,,
, =
由,
故当即时,
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为。
(3)(方法一)由(2)知:=
由得:,
令则,即:。
同理,由得:
另一方面,
当且仅当,即=时,取等号。
所以不能否适当选取、的值,使得和同时成立,但等号不同时成立。
20.(本小题满分16分)
设为实数,函数.
(1)若,求的取值范围;
(2)求的最小值;
(3)设函数,直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.
【解析】本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识,考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分
(1)若,则
(2)当时,
当时,
综上
(3)时,得,
当时,;
当时,△>0,得:
讨论得:当时,解集为;
当时,解集为;
当时,解集为.