19. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问5分，(Ⅱ)小问7分.)

设=的导数为,若函数=的图象关于直线=对称，且=0.

(Ⅰ)求实数,的值;

(Ⅱ)求函数的极值.

【命题意图】本题考查考查利用导数求函数的极值、二次函数的图像与性质，考查方程与不等式思想、转化和化归思想，属容易题.

【解析】(Ⅰ)=,

∵若函数=的图象关于直线=对称，且=0,

∴=且，解得=3，=－12.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知=，

==，

的变化如下：

∴当=－2时，取极大值，极大值为21，当=1时，取极小值，极小值为－6.

20.(本小题满分12分，(Ⅰ)小问6分，(Ⅱ)小问6分.如图，在四面体中，平面⊥平面，⊥，==2，==1.

(Ⅰ)求四面体的体积;

(Ⅱ)求二面角的平面角的正切值.

【命题意图】本题考查简单几何体的体积计算、二面角的求法，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力及转化与化归思想，是中档题.

【解析】(Ⅰ) 如图，过作⊥于，∵平面⊥平面，

∴⊥平面，则是四面体的面上的高，

设中点为，∵==2，∴⊥，

∴===,

∵=, ∴==,

在中，==,∴==,

∴四棱锥的体积==.

(Ⅱ)（几何法）过作⊥与，连结，由(Ⅰ)知⊥面，

由三垂线定理知⊥，∴为二面角的平面角，

在中，===,

在中，∥， ∴, ∴==,

在中，==.

21. (本小题满分12分，(Ⅰ)小问4分，(Ⅱ)小问8分.)如图，椭圆的中心为原点，离心率=,一条准线的方程是=.

(Ⅰ)求椭圆的标准方程;

(Ⅱ)设动点满足:=,其中,是椭圆上的点，直线与的斜率之积为.问:是否存在定点,使得与点到直线：=的距离之比为定值？若存在,求的坐标;若不存在,说明理由.

【命题意图】本题考查了椭圆标准方程的求解与椭圆的定植问题，考查学生综合运用知识解决问题能力、运算求解能力和探究问题能力，难度较大.

【解析】(Ⅰ) ∵==,=,解得=2，=，∴==2，

∴椭圆的标准方程为；

(Ⅱ)设P(，)，，，则由=，得

==，

∴=，=，

∵,在椭圆上，∴，，

∴==

==.

设,分别表示直线，的斜率，由题设条件知，==，

∴， ∴=20，

∴点在椭圆上，该椭圆的右焦点为(,0),离心率=，右准线为：=，

∴根据椭圆的第二定义，存在定点(,0)，使得与点到直线的距离之比为定值.

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