20．（本小题满分12分）如图，在抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．点在抛物线上，以为圆心为半径作圆，设圆与准线的交于不同的两点．

（1）若点的纵坐标为2，求；

（2）若，求圆的半径．

本小题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（Ⅰ）抛物线的准线的方程为，

由点的纵坐标为，得点的坐标为

所以点到准线的距离，又．

所以.

（Ⅱ）设，则圆的方程为，

即.

由，得

设，，则：

由，得

所以，解得，此时

所以圆心的坐标为或

从而，，即圆的半径为

21（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形中，，，点在线段上．

（1）若，求的长；

（2）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小

值．

本小题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（Ⅰ）在中，，，，

由余弦定理得，，

得，

解得或．

（Ⅱ）设，，

在中，由正弦定理，得，

所以，

同理

故

因为，，所以当时，的最大值为，此时的面积取到最小值．即2时，的面积的最小值为．

22（本小题满分14分）已知函数（，为自然对数的底数）．

（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；

（2）求函数的极值；

（3）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．

本小题主要考查函数与导数，函数的单调性、极值、零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归与转化思想．满分14分．

解：（Ⅰ）由，得．

又曲线在点处的切线平行于轴，

得，即，解得．

（Ⅱ），

①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．

②当时，令，得，．

，；，．

所以在上单调递减，在上单调递增，

故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．

综上，当时，函数无极小值；

当，在处取得极小值，无极大值．

（Ⅲ）当时，

令，

则直线：与曲线没有公共点，

等价于方程在上没有实数解．

假设，此时，，

又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．

又时，，知方程在上没有实数解．

所以的最大值为．

解法二：

（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．

（Ⅲ）当时，．

直线：与曲线没有公共点，

等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：

（*）

在上没有实数解．

①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解．

②当时，方程（*）化为．

令，则有．

令，得，

当变化时，的变化情况如下表：

当时，，同时当趋于时，趋于，

从而的取值范围为．

所以当时，方程（*）无实数解，

解得的取值范围是．

综上，得的最大值为．

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