第Ⅱ卷

二．填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.

(9) i是虚数单位. 复数(3 + i)(1－2i) = .

【答案】

【解析】(3 + i)(1－2i)。

(10) 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上. 若球的体积为, 则正方体的棱长为 .

【答案】

【解析】设正方体的棱长为，则正方体的体对角线为直径，即，即球半径。若球的体积为，即，解得。

(11) 已知抛物线的准线过双曲线的一个焦点, 且双曲线的离心率为2, 则该双曲线的方程为 .

【答案】

【解析】抛物线的准线方程为，因为双曲线的一个焦点在准线上，所以，即，且双曲线的焦点在轴上。又双曲线的离心率为2，即，解得，所以，所以双曲线的方程为。

(12) 在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为 .

【答案】

【解析】因为E为CD的中点，所以. 因为，所以，即，所以，解得。

(13) 如图, 在圆内接梯形ABCD中, AB//DC, 过点A作圆的切线与CB的延长线交于点E. 若AB = AD = 5, BE = 4, 则弦BD的长为 .

【答案】

【解析】连结AC,则，所以梯形ABCD为等腰梯形，所以，所以，所以,所以.又,即，整理得，解得。

(14) 设a + b = 2, b>0, 则的最小值为 .

【答案】

【解析】因为，所以。显然当时，且时，上式取等号，此时，联立，解得，此时。所以当时，的最小值为。

三．解答题: 本大题共6小题, 共70分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.

(15) (本小题满分13分)

某产品的三个质量指标分别为x, y, z, 用综合指标S = x + y + z评价该产品的等级. 若S≤4, 则该产品为一等品. 先从一批该产品中, 随机抽取10件产品作为样本, 其质量指标列表如下:

(Ⅰ) 利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率;

(Ⅱ) 在该样品的一等品中, 随机抽取两件产品,

(⒈) 用产品编号列出所有可能的结果;

(⒉) 设事件B为 “在取出的2件产品中, 每件产品的综合指标S都等于4”, 求事件B发生的概率.

(16) (本小题满分13分)

在△ABC中, 内角A, B, C所对的边分别是a, b, c. 已知, a = 3, .

(Ⅰ) 求b的值;

(Ⅱ) 求的值.

(17) (本小题满分13分)

如图, 三棱柱ABC－A1B1C1中, 侧棱A1A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A1C1的中点.

(Ⅰ) 证明EF//平面A1CD;

(Ⅱ) 证明平面A1CD⊥平面A1ABB1;

(Ⅲ) 求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值.

(18) (本小题满分13分)

设椭圆的左焦点为F, 离心率为, 过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

(Ⅰ) 求椭圆的方程;

(Ⅱ) 设A, B分别为椭圆的左右顶点, 过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C, D两点. 若, 求k的值.

(19) (本小题满分14分)

已知首项为的等比数列的前n项和为, 且成等差数列.

(Ⅰ) 求数列的通项公式;

(Ⅱ) 证明.

(20) (本小题满分14分)

设, 已知函数

(Ⅰ) 证明在区间(－1,1)内单调递减, 在区间(1, + ∞)内单调递增;

(Ⅱ) 设曲线在点处的切线相互平行, 且 证明.

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