三.解答题:本大题共6小题,共80分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
已知函数
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值和最小值.
本题考查两角和与差的正弦公式、二倍角的余弦公式,三角函数的最小周期,单调性等知识。
(16)(本小题满分13分)
现有4个人去参加某娱乐活动,该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性,约定:每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏,掷出点数为1或2的人去参加甲游戏,掷出点数大于2的人去参加乙游戏.
(Ⅰ)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率;
(Ⅱ)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率;
用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数,记,求随机变量的分布列与数学期望.
(17)(本小题满分13分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.
(Ⅰ)证明PC⊥AD;
(Ⅱ)求二面角A-PC-D的正弦值;
(Ⅲ)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.
(18)(本小题满分13分)
已知是等差数列,其前n项和为Sn,是等比数列,且,
.
(Ⅰ)求数列与的通项公式;
(Ⅱ)记,,证明().
(19)(本小题满分14分)
设椭圆的左、右顶点分别为A,B,点P在椭圆上且异于A,B两点,O为坐标原点.
(Ⅰ)若直线AP与BP的斜率之积为,求椭圆的离心率;
(Ⅱ)若|AP|=|OA|,证明直线OP的斜率k满足
(20)(本小题满分14分)
已知函数的最小值为0,其中
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若对任意的有≤成立,求实数的最小值;
(Ⅲ)证明().