23．（10分）（2013•扬州）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．

（1）求证：AB⊥AE；

（2）若BC2=AD•AB，求证：四边形ADCE为正方形．

考点： 旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的判定；相似三角形的判定与性质．

专题： 证明题．

分析： （1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE，然后根据“SAS”可判断△BCD≌△ACE，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得到结论；

（2）由于BC=AC，则AC2=AD•AB，根据相似三角形的判定方法得到△DAC∽△CAB，则∠CDA=∠BCA=90°，可判断四边形ADCE为矩形，利用CD=CE可判断四边形ADCE为正方形．

解答： 证明：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠B=∠BAC=45°，

∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，

∴∠DCE=90°，CD=CE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB﹣∠ACD=∠DCE﹣∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中

，

∴△BCD≌△ACE，

∴∠B=∠CAE=45°，

∴∠BAE=45°+45°=90°，

∴AB⊥AE；

（2）∵BC2=AD•AB，

而BC=AC，

∴AC2=AD•AB，

∵∠DAC=∠CAB，

∴△DAC∽△CAB，

∴∠CDA=∠BCA=90°，

而∠DAE=90°，∠DCE=90°，

∴四边形ADCE为矩形，

∵CD=CE，

∴四边形ADCE为正方形．

点评： 本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等、相似的判定与性质以及正方形的判定．

24．（10分）（2013•扬州）某校九（1）、九（2）两班的班长交流了为四川安雅地震灾区捐款的情况：

（Ⅰ）九（1）班班长说：“我们班捐款总数为1200元，我们班人数比你们班多8人．”

（Ⅱ）九（2）班班长说：“我们班捐款总数也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20%．”

请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数．

考点： 分式方程的应用．

分析： 首先设九（1）班的人均捐款数为x元，则九（2）班的人均捐款数为（1+20%）x元，然后根据我们班人数比你们班多8人，即可得方程：﹣=8，解此方程即可求得答案．

解答： 解：设九（1）班的人均捐款数为x元，则九（2）班的人均捐款数为（1+20%）x元，

则：﹣=8，

解得：x=25，

经检验，x=25是原方程的解．

九（2）班的人均捐款数为：（1+20%）x=30（元）

答：九（1）班人均捐款为25元，九（2）班人均捐款为30元．

点评： 本题考查分式方程的应用．注意分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

25．（10分）（2013•扬州）如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．

（1）求证：AB=AC；

（2）若AD=4，cos∠ABF=，求DE的长．

考点： 切线的性质；圆周角定理；解直角三角形．

分析： （1）由BF是⊙O的切线，利用弦切角定理，可得∠3=∠C，又由∠ABF=∠ABC，可证得∠2=∠C，即可得AB=AC；

（2）首先连接BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求出AB的长度；然后在Rt△ABE中，解直角三角形求出AE的长度；最后利用DE=AD﹣AE求得结果．

解答： （1）证明：∵BF是⊙O的切线，

∴∠3=∠C，

∵∠ABF=∠ABC，

即∠3=∠2，

∴∠2=∠C，

∴AB=AC；

（2）解：如图，连接BD，在Rt△ADB中，∠BAD=90°，

∵cos∠ADB=，∴BD====5，

∴AB=3．

在Rt△ABE中，∠BAE=90°，

∵cos∠ABE=，∴BE===，

∴AE==，

∴DE=AD﹣AE=4﹣=．

点评： 此题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

26．（10分）（2013•扬州）如图，抛物线y=x2﹣2x﹣8交y轴于点A，交x轴正半轴于点B．

（1）求直线AB对应的函数关系式；

（2）有一宽度为1的直尺平行于x轴，在点A、B之间平行移动，直尺两长边所在直线被直线AB和抛物线截得两线段MN、PQ，设M点的横坐标为m，且0＜m＜3．试比较线段MN与PQ的大小．

考点： 二次函数综合题

专题： 计算题．

分析： （1）利用二次函数解析式，求出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式；

（2）根据M的横坐标和直尺的宽度，求出P的横坐标，再代入直线和抛物线解析式，求出MN、PQ的长度表达式，再比较即可．

解答： 解：（1）当x=0时，y=﹣8；当y=0时，x2﹣2x﹣8=0，

解得，x1=4，x2=﹣8；则A（0，﹣8），B（4，0）；

设一次函数解析式为y=kx+b，

将A（0，﹣8），B（4，0）分别代入解析式得；

解得，．

故一次函数解析式为y=2x﹣8；

（2）∵M点横坐标为m，则P点横坐标为（m+1）；

∴MN=（2m﹣8）﹣（m2﹣2m﹣8）=2m﹣8﹣m2+2m﹣8=﹣m2+4m；

PQ=[2（m+1）﹣8]﹣[（m+1）2﹣2（m+1）﹣8]=﹣m2+4m；

∴MN﹣PQ=（﹣m2+4m）﹣（﹣m2+2m+3）=2m﹣3；

①当2m﹣3=0时，m=，即MN﹣PQ=0，MN=PQ；

②当2m﹣3＞0时，＜m＜3，即MN﹣PQ＞0，MN＞PQ；

③当2m﹣3＜0时，0＜m＜，即MN﹣PQ＜0，MN＜PQ．

点评： 本题考查了二次函数综合题型，涉及待定系数法求一次函数解析式、二次函数与坐标轴的交点问题，同时需要分类讨论．

27．（12分）（2013•扬州）如图1，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，AB=2，CD=1，BC=m，P为线段BC上的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过P作PE⊥PA交CD所在直线于E．设BP=x，CE=y．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；

（3）如图2，若m=4，将△PEC沿PE翻折至△PEG位置，∠BAG=90°，求BP长．

考点： 四边形综合题．

分析： （1）证明△ABP∽△PCE，利用比例线段关系求出y与x的函数关系式；

（2）根据（1）中求出的y与x的关系式，利用二次函数性质，求出其最大值，列不等式确定m的取值范围；

（3）根据翻折的性质及已知条件，构造直角三角形，利用勾股定理求出BP的长度．解答中提供了三种解法，可认真体会．

解答： 解：（1）∵∠APB+∠CPE=90°，∠CEP+∠CPE=90°，

∴∠APB=∠CEP，又∵∠B=∠C=90°，

∴△ABP∽△PCE，

∴，即，

∴y=x2+x．

（2）∵y=x2+x=（x﹣）2+，

∴当x=时，y取得最大值，最大值为．

∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，

∴≤1，解得m≤．

∴m的取值范围为：0＜m≤．

（3）由折叠可知，PG=PC，EG=EC，∠GPE=∠CPE，

又∵∠GPE+∠APG=90°，∠CPE+∠APB=90°，

∴∠APG=∠APB．

∵∠BAG=90°，∴AG∥BC，

∴∠GAP=∠APB，

∴∠GAP=∠APG，

∴AG=PG=PC．

解法一：如解答图所示，分别延长CE、AG，交于点H，

则易知ABCH为矩形，HE=CH﹣CE=2﹣y，GH=AH﹣AG=4﹣（4﹣x）=x，

在Rt△GHE中，由勾股定理得：GH2+HE2=GH2，

即：x2+（2﹣y）2=y2，化简得：x2﹣4y+4=0 ①

由（1）可知，y=x2+x，这里m=4，∴y=x2+2x，

代入①式整理得：x2﹣8x+4=0，解得：x=或x=2，

∴BP的长为或2．

解法二：如解答图所示，连接GC．

∵AG∥PC，AG=PC，

∴四边形APCG为平行四边形，∴AP=CG．

易证△ABP≌GNC，∴CN=BP=x．

过点G作GN⊥PC于点N，则GH=2，PN=PC﹣CN=4﹣2x．

在Rt△GPN中，由勾股定理得：PN2+GN2=PG2，

即：（4﹣2x）2+22=（4﹣x）2，

整理得：x2﹣8x+4=0，解得：x=或x=2，

∴BP的长为或2．

解法三：过点A作AK⊥PG于点K，

∵∠APB=∠APG，

∴AK=AB．

易证△APB≌△APK，

∴PK=BP=x，

∴GK=PG﹣PK=4﹣2x．

在Rt△AGK中，由勾股定理得：GK2+AK2=AG2，

即：（4﹣2x）2+22=（4﹣x）2，

整理得：x2﹣8x+4=0，

解得：x=或x=2，

∴BP的长为或2．

点评： 本题是代数几何综合题，考查了全等三角形、相似三角形、勾股定理、梯形、矩形、折叠、函数关系式、二次函数最值等知识点，所涉及考点众多，有一定的难度．注意第（2）问中求m取值范围时二次函数性质的应用，以及第（3）问中构造直角三角形的方法．

28．（12分）（2013•扬州）如果10b=n，那么b为n的劳格数，记为b=d（n），由定义可知：10b=n与b=d（n）所表示的b、n两个量之间的同一关系．

（1）根据劳格数的定义，填空：d（10）=　1　，d（10﹣2）=　﹣2　；

（2）劳格数有如下运算性质：

若m、n为正数，则d（mn）=d（m）+d（n），d（）=d（m）﹣d（n）．

根据运算性质，填空：

=　3　（a为正数），若d（2）=0.3010，则d（4）=　0.6020　，d（5）=　0.6990　，d（0.08）=　﹣1.097　；

（3）如表中与数x对应的劳格数d（x）有且只有两个是错误的，请找出错误的劳格数，说明理由并改正．

考点： 整式的混合运算；反证法．

分析： （1）根据定义可知，d（10）和d（10﹣2）就是指10的指数，据此即可求解；

（2）根据d（a3）=d（a•a•a）=d（a）+d（a）+d（a）即可求得的值；

（3）通过9=32，27=33，可以判断d（3）是否正确，同理以依据5=10÷2，假设d（5）正确，可以求得d（2）的值，即可通过d（8），d（12）作出判断．

解答： 解：（1）1，﹣2；

（2）==3；

利用计算器可得：100.3010≈2，100.6020≈4，100.6990≈5，10﹣1.097≈0.08，

故d（4）=0.6020，d（5）=0.6990，d（0.08）=﹣1.097；

（3）若d（3）≠2a﹣b，则d（9）=2d（3）≠4a﹣2b，

d（27）=3d（3）≠6a﹣3b，

从而表中有三个劳格数是错误的，与题设矛盾，

∴d（3）=2a﹣b，

若d（5）≠a+c，则d（2）=1﹣d（5）≠1﹣a﹣c，

∴d（8）=3d（2）≠3﹣3a﹣3c，

d（6）=d（3）+d（2）≠1+a﹣b﹣c，

表中也有三个劳格数是错误的，与题设矛盾．

∴d（6）=a+c．

∴表中只有d（1.5）和d（12）的值是错误的，应纠正为：

d（1.5）=d（3）+d（5）﹣1=3a﹣b+c﹣1，

d（12）﹣d（3）+2d（2）=2﹣b﹣2c．

点评： 本题考查整式的运算，正确理解规定的新的运算法则是关键．

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