2009年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）参考答案

一、选择题

1-8 B .C. B. C D. D A A.

二、填空题

（一）必做题

9.【解析】；平均数

11.【解析】或，则或

11.【解析】，，，，则所求椭圆方程为.

12.【解析】由题知，，，

解得，.

(二)选做题

13.【解析】，得.

14.【解析】且

15.【解析】解法一：连结、，则，∵，，∴，则；解法二：，则.

三、解答题

16. 解：（1）∵与互相垂直，则，即，代入得，又，∴.

（2）∵，，∴，则，∴.

17. 解：（1）由图可知，解得；

（2）；

（3）该城市一年中每天空气质量为良或轻微污染的概率为，则空气质量不为良且不为轻微污染的概率为，一周至少有两天空气质量为良或轻微污染的概率为.

18. 解：（1）依题作点、在平面内的正投影、，则、分别为、的中点，连结、、、，则所求为四棱锥的体积，其底面面积为

，

又面，，∴.

（2）以为坐标原点，、、所在直线分别作轴，轴，轴，得、，又，，，则，，，

∴，，即，，

又，∴平面.

（3），，则，设异面直线所成角为，则.

19. 解：（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，

∴化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，∴中点的轨迹方程为（）.

（2）曲线，

即圆：，其圆心坐标为，半径

由图可知，当时，曲线与点有公共点；

当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.

20. 解：（1）依题可设 ()，则；

又的图像与直线平行

， ，

设，则

当且仅当时，取得最小值，即取得最小值

当时， 解得

当时， 解得

（2）由()，得

当时，方程有一解，函数有一零点；

当时，方程有二解，

若，，

函数有两个零点，即；

若，，

函数有两个零点，即；

当时，方程有一解, ,

函数有一零点

综上，当时, 函数有一零点；

当()，或（）时，

函数有两个零点；

当时，函数有一零点.

21. 解：（1）设直线：，联立得，则，∴（舍去）

，即，∴

（2）证明：∵

∴

由于，可令函数，则，令，得，给定区间，则有，则函数在上单调递减，∴，即在恒成立，又，

则有，即.

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