第二部分 （非选择题 共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。把答案填在答题纸的相应位置上。）

13、设全集，集合，，则_______。

[答案]{a, c, d}

[解析]∵ ； ∴{a,c，d}

[点评]本题难度较低，只要稍加注意就不会出现错误.

14、如图，在正方体中，、分别是、的中点，则异面直线与所成角的大小是____________。

[答案]90º

[解析]方法一：连接D1M,易得DN⊥A1D1 ,DN⊥D1M,

所以，DN⊥平面A1MD1，

又A1M平面A1MD1，所以，DN⊥A1D1，故夹角为90º

方法二：以D为原点，分别以DA, DC, DD1为x, y, z轴，建立空间直角坐标系D—xyz.设正方体边长为2，则D（0,0,0），N（0,2,1），M（0,1,0）A1（2,0,2）

故，

所以，cos< = 0,故DN⊥D1M，所以夹角为90º

[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一，把两条异面直线平移到同一平面中借助三角形处理； 第二，建立空间直角坐标系，利用向量夹角公式解决.

15、椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于点、，当的周长最大时，的面积是____________。

[答案]

[解析]根据椭圆定义知：4a=12, 得a=3 , 又

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念.

16、记为不超过实数的最大整数，例如，，，。设为正整数，数列满足，，现有下列命题：

①当时，数列的前3项依次为5,3,2；

②对数列都存在正整数，当时总有；

③当时，；

④对某个正整数，若，则。

其中的真命题有____________。（写出所有真命题的编号）

[答案]①③④

[解析]若，根据

当n=1时，x2=[]=3, 同理x3=, 故①对.

对于②③④可以采用特殊值列举法：

当a=1时，x1=1, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对.

当a=2时，x1=2, x2=1, x3=1, ……xn=1, …… 此时②③④均对

当a=3时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2……xn=1, ……此时③④均对

综上，真命题有 ①③④ .

[点评]此题难度较大，不容易寻找其解题的切入点，特殊值列举是很有效的解决办法.

三、解答题（本大题共6个小题，共74分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。）

17、(本小题满分12分)

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）和，系统和在任意时刻发生故障的概率分别为和。

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求的值；

（Ⅱ）设系统在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量，求的概率分布列及数学期望。

[解析]（1）设：“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么

1-P（C）=1-P= ，解得P=………………………………4 分

（2）由题意，P（=0）=

P（=1）=

P（=2）=

P（=3）=

所以，随机变量的概率分布列为：

故随机变量X的数学期望为：

E=0 ……………………12分.

[点评]本小题主要考查相互独立事件，独立重复试验、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.

18、(本小题满分12分)

函数在一个周期内的图象如图所示，为图象的最高点，、为图象与轴的交点，且为正三角形。

（Ⅰ）求的值及函数的值域；

（Ⅱ）若，且，求的值。

[解析]（Ⅰ）由已知可得：

=3cosωx+

又由于正三角形ABC的高为2，则BC=4

所以，函数

所以，函数。……………………6分

（Ⅱ）因为（Ⅰ）有

由x0

所以，

故

………………………………………………………12分

[点评]本题主要考查三角函数的图像与性质同三角函数的关系、两角和的正（余）弦公式、二倍角公式等基础知识，考查运算能力，考查树形结合、转化等数学思想.

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