20．（2012年江苏省16分）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，

（1）设，，求证：数列是等差数列；

（2）设，，且是等比数列，求和的值．

【答案】解：（1）∵，∴。

∴ 。∴ 。

∴数列是以1 为公差的等差数列。

（2）∵，∴。

∴。（﹡）

设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明

若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。

若则，∴当时，，与（﹡）矛盾。

∴综上所述，。∴，∴。

又∵，∴是公比是的等比数列。

若，则，于是。

又由即，得。

∴中至少有两项相同，与矛盾。∴。

∴。

∴ 。

【考点】等差数列和等比数列的基本性质，基本不等式，反证法。

【解析】（1）根据题设和，求出，从而证明而得证。

（2）根据基本不等式得到，用反证法证明等比数列的公比。

从而得到的结论，再由知是公比是的等比数列。最后用反证法求出。

数学Ⅱ(附加题)

21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A．[选修4 - 1：几何证明选讲] （2012年江苏省10分）如图，是圆的直径，为圆上位于异侧的两点，连结并延长至点，使，连结．

求证：．

【答案】证明：连接。

∵是圆的直径，∴（直径所对的圆周角是直角）。

∴（垂直的定义）。

又∵，∴是线段的中垂线（线段的中垂线定义）。

∴（线段中垂线上的点到线段两端的距离相等）。

∴（等腰三角形等边对等角的性质）。

又∵为圆上位于异侧的两点，

∴（同弧所对圆周角相等）。

∴（等量代换）。

【考点】圆周角定理，线段垂直平分线的判定和性质，等腰三角形的性质。

【解析】要证，就得找一个中间量代换，一方面考虑到是同弧所对圆周角，相等；另

一方面由是圆的直径和可知是线段的中垂线，从而根据线段中垂线上的点到线段两端的距离相等和等腰三角形等边对等角的性质得到。从而得证。

本题还可连接，利用三角形中位线来求证。

B．[选修4 - 2：矩阵与变换] （2012年江苏省10分）已知矩阵的逆矩阵，求矩阵的特征值．

【答案】解：∵，∴。

∵，∴。

∴矩阵的特征多项式为。

令，解得矩阵的特征值。

【考点】矩阵的运算，矩阵的特征值。

【解析】由矩阵的逆矩阵，根据定义可求出矩阵，从而求出矩阵的特征值。

C．[选修4 - 4：坐标系与参数方程] （2012年江苏省10分）在极坐标中，已知圆经过点，圆心为直线与极轴的交点，求圆的极坐标方程．

【答案】解：∵圆圆心为直线与极轴的交点，

∴在中令，得。

∴圆的圆心坐标为（1，0）。

∵圆经过点，∴圆的半径为。

∴圆经过极点。∴圆的极坐标方程为。

【考点】直线和圆的极坐标方程。

【解析】根据圆圆心为直线与极轴的交点求出的圆心坐标；根据圆经过点求出圆的半径。从而得到圆的极坐标方程。

D．[选修4 - 5：不等式选讲] （2012年江苏省10分）已知实数x，y满足：求证：．

【答案】证明：∵，

由题设∴。∴。

【考点】绝对值不等式的基本知识。

【解析】根据绝对值不等式的性质求证。

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22．（2012年江苏省10分）设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，．

（1）求概率；

（2）求的分布列，并求其数学期望．

【答案】解：（1）若两条棱相交，则交点必为正方体8个顶点中的一个，过任意1个顶点恰有3条棱，

∴共有对相交棱。

∴ 。

（2）若两条棱平行，则它们的距离为1或，其中距离为的共有6对，

∴ ，。

∴随机变量的分布列是：

∴其数学期望。

【考点】概率分布、数学期望等基础知识。

【解析】（1）求出两条棱相交时相交棱的对数，即可由概率公式求得概率。

（2）求出两条棱平行且距离为的共有6对，即可求出，从而求出（两条棱平行且距离为1和两条棱异面），因此得到随机变量的分布列，求出其数学期望。

23．（2012年江苏省10分）设集合，．记为同时满足下列条件的集合的个数：

①；②若，则；③若，则。

（1）求；

（2）求的解析式（用表示）．

【答案】解：（1）当时，符合条件的集合为：，

∴ =4。

( 2 ）任取偶数，将除以2 ，若商仍为偶数．再除以2 ，··· 经过次以后．商必为奇数．此时记商为。于是，其中为奇数。

由条件知．若则为偶数；若，则为奇数。

于是是否属于，由是否属于确定。

设是中所有奇数的集合．因此等于的子集个数。

当为偶数〔 或奇数）时，中奇数的个数是（）。

∴。

【考点】集合的概念和运算，计数原理。

【解析】（1）找出时，符合条件的集合个数即可。

（2）由题设，根据计数原理进行求解。

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