25．（8分）（2013•徐州）如图，为了测量某风景区内一座塔AB的高度，小明分别在塔的对面一楼房CD的楼底C，楼顶D处，测得塔顶A的仰角为45°和30°，已知楼高CD为10m，求塔的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.41，≈1.73）

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．

专题： 应用题．

分析： 过点D作DE⊥AB于点E，设塔高AB=x，则AE=（x﹣10）m，在Rt△ADE中表示出DE，在Rt△ABC中表示出BC，再由DE=BC可建立方程，解出即可得出答案．

解答： 解：过点D作DE⊥AB于点E，得矩形DEBC，

设塔高AB=xm，则AE=（x﹣10）m，

在Rt△ADE中，∠ADE=30°，

则DE=（x﹣10）米，

在Rt△ABC中，∠ACB=45°，

则BC=AB=x，

由题意得，（x﹣10）=x，

解得：x=15+5≈23.7．即AB≈23.7米．

答：塔的高度为23.7米．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段，注意方程思想的运用．

26．（8分）（2013•徐州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，翻折∠C，使点C落在斜边AB上某一点D处，折痕为EF（点E、F分别在边AC、BC上）

（1）若△CEF与△ABC相似．

①当AC=BC=2时，AD的长为　　；

②当AC=3，BC=4时，AD的长为　1.8或2.5　；

（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？请说明理由．

考点： 相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．

分析： （1）若△CEF与△ABC相似．

①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形；

②当AC=3，BC=4时，分两种情况：

（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示，此时EF∥AB，CD为AB边上的高；

（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．由相似三角形角之间的关系，可以推出∠A=∠ECD与∠B=∠FCD，从而得到CD=AD=BD，即D点为AB的中点；

（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．可以推出∠CFE=∠A，∠C=∠C，从而可以证明两个三角形相似．

解答： 解：（1）若△CEF与△ABC相似．

①当AC=BC=2时，△ABC为等腰直角三角形，如答图1所示．

此时D为AB边中点，AD=AC=．

②当AC=3，BC=4时，有两种情况：

（I）若CE：CF=3：4，如答图2所示．

∵CE：CF=AC：BC，∴EF∥BC．

由折叠性质可知，CD⊥EF，∴CD⊥AB，即此时CD为AB边上的高．

在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∴BC=5，∴cosA=．

AD=AC•cosA=3×=1.8；

（II）若CF：CE=3：4，如答图3所示．

∵△CEF∽△CAB，∴∠CEF=∠B．

由折叠性质可知，∠CEF+∠ECD=90°，

又∵∠A+∠B=90°，

∴∠A=∠ECD，∴AD=CD．

同理可得：∠B=∠FCD，CD=BD，

∴此时AD=AB=×5=2.5．

综上所述，当AC=3，BC=4时，AD的长为1.8或2.5．

（2）当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似．理由如下：

如答图3所示，连接CD，与EF交于点Q．

∵CD是Rt△ABC的中线，∴CD=DB=AB，∴∠DCB=∠B．

由折叠性质可知，∠CQF=∠DQF=90°，∴∠DCB+∠CFE=90°，

∵∠B+∠A=90°，∴∠CFE=∠A，

又∵∠C=∠C，∴△CEF∽△CBA．

点评： 本题是几何综合题，考查了几何图形折叠问题和相似三角形的判定与性质．第（1）②问需要分两种情况分别计算，此处容易漏解，需要引起注意．

27．（10分）（2013•徐州）为增强公民的节约意识，合理利用天然气资源，某市自1月1日起对市区民用管道天然气价格进行调整，实行阶梯式气价，调整后的收费价格如表所示：

（1）若甲用户3月份的用气量为60m3，则应缴费　150　元；

（2）若调价后每月支出的燃气费为y（元），每月的用气量为x（m3），y与x之间的关系如图所示，求a的值及y与x之间的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，若乙用户2、3月份共用1气175m3（3月份用气量低于2月份用气量），共缴费455元，乙用户2、3月份的用气量各是多少？

考点： 一次函数的应用．

分析： （1）根据单价×数量=总价就可以求出3月份应该缴纳的费用；

（2）结合统计表的数据）根据单价×数量=总价的关系建立方程就可以求出a值，再从0≤x≤75，75＜x≤125和x＞125运用待定系数法分别表示出y与x的函数关系式即可；

（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175﹣x）m3，分3种情况：x＞125，175﹣x≤75时，75＜x≤125，175﹣x≤75时，当75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时分别建立方程求出其解就可以．

解答： 解：（1）由题意，得

60×2.5=150（元）；

（2）由题意，得

a=（325﹣75×2.5）÷（125﹣75），

a=2.75，

∴a+0.25=3，

设OA的解析式为y1=k1x，则有

2.5×75=75k1，

∴k1=2.5，

∴线段OA的解析式为y1=2.5x（0≤x≤75）；

设线段AB的解析式为y2=k2x+b，由图象，得

，

解得：，

∴线段AB的解析式为：y2=2.75x﹣18.75（75＜x≤125）；

（385﹣325）÷3=20，故C（145，385），设射线BC的解析式为y3=k3x+b1，由图象，得

，

解得：，

∴射线BC的解析式为y3=3x﹣50（x＞125）

（3）设乙用户2月份用气xm3，则3月份用气（175﹣x）m3，

当x＞125，175﹣x≤75时，

3x﹣50+2.5（175﹣x）=455，

解得：x=135，175﹣135=40，符合题意；

当75＜x≤125，175﹣x≤75时，

2.75x﹣18.75+2.5（175﹣x）=455，

解得：x=145，不符合题意，舍去；

当75＜x≤125，75＜175﹣x≤125时，

2.75x﹣18.75+2.75（175﹣x）=455，此方程无解．

∴乙用户2、3月份的用气量各是135m3，40m3．

点评： 本题是一道一次函数的综合试题，考查了单价×数量=总价的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的运用，分类讨论思想在解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．

28．（10分）（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP的垂线与y轴交于点E．

（1）请直接写出点D的坐标：　（﹣3，4）　；

（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；

（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．

考点： 二次函数综合题．

分析： （1）将点A的坐标代入二次函数的解析式求得其解析式，然后求得点B的坐标即可求得正方形ABCD的边长，从而求得点D的纵坐标；

（2）PA=t，OE=l，利用△DAP∽△POE得到比例式，从而得到有关两个变量的二次函数，求最值即可；

（3）分点P位于y轴左侧和右侧两种情况讨论即可得到重叠部分的面积．

解答： 解：（1）（﹣3，4）；

（2）设PA=t，OE=l

由∠DAP=∠POE=∠DPE=90°得△DAP∽△POE

∴

∴l=﹣+=﹣（t﹣）2+

∴当t=时，l有最大值

即P为AO中点时，OE的最大值为；

（3）存在．

①点P点在y轴左侧时，P点的坐标为（﹣4，0）

由△PAD∽△OEG得OE=PA=1

∴OP=OA+PA=4

∵△ADG∽△OEG

∴AG：GO=AD：OE=4：1

∴AG==

∴重叠部分的面积==

②当P点在y轴右侧时，P点的坐标为（4，0），

此时重叠部分的面积为

点评： 本题考查了二次函数的综合知识，与二次函数的最值结合起来，题目的难度较大．

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