19.(6分)(2013•张家界)如图,在方格纸上,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形,请按要求完成下列操作:先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1,再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2.
考点: 作图-旋转变换;作图-轴对称变换.
分析: △ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1,△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得出△A2B2C2即可.
解答: 解:如图所示:
点评: 此题主要考查了图形的旋转变换以及轴对称图形,根据已知得出对应点位置是解题关键.
20.(8分)(2013•张家界)为增强市民的节水意识,某市对居民用水实行“阶梯收费”:规定每户每月不超过月用水标准部分的水价为1.5元/吨,超过月用水标准量部分的水价为2.5元/吨.该市小明家5月份用水12吨,交水费20元.请问:该市规定的每户月用水标准量是多少吨?
考点: 一元一次方程的应用.
分析: 设该市规定的每户每月标准用水量为x吨,根据小明家所交的电费判断出x的范围,然后可得出方程,解出即可.
解答: 解:设该市规定的每户每月标准用水量为x吨,
∵12×1.5=18<20,
∴x<12,
从而可得方程:1.5x+2.5(12﹣x)=20,
解得:x=10.
答:该市规定的每户每月标准用水量为10吨.
点评: 本题考查了一元一次方程的应用,属于基础题,解题关键是判断出x的范围,根据等量关系得出方程.
21.(8分)(2013•张家界)某班在一次班会课上,就“遇见路人摔倒后如何处理”的主题进行讨论,并对全班50名学生的处理方式进行统计,得出相关统计表和统计图.
组别 | A | B | C | D |
处理方式 | 迅速离开 | 马上救助 | 视情况而定 | 只看热闹 |
人数 | m | 30 | n | 5 |
请根据表图所提供的信息回答下列问题:
(1)统计表中的m= 5 ,n= 10 ;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若该校有2000名学生,请据此估计该校学生采取“马上救助”方式的学生有多少人?
考点: 频数(率)分布直方图;用样本估计总体;统计表.
分析: (1)根据条形统计图可以求得m的值,然后利用50减去其它各组的人数即可求得n的值;
(2)根据(1)的结果即可作出统计图;
(3)利用总人数2000乘以所占的比例即可求解.
解答: 解:(1)根据条形图可以得到:m=5,n=50﹣5﹣30﹣5=10(人)
故答案是:5,10;
(2)
点评: 本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
22.(8分)(2013•张家界)国家海洋局将中国钓鱼岛最高峰命名为“高华峰”,并对钓鱼岛进行常态化立体巡航.如图1,在一次巡航过程中,巡航飞机飞行高度为2001米,在点A测得高华峰顶F点的俯角为30°,保持方向不变前进1200米到达B点后测得F点俯角为45°,如图2.请据此计算钓鱼岛的最高海拔高度多少米.(结果保留整数,参考数值:=1.732,=1.414)
考点: 解直角三角形的应用-仰角俯角问题.
分析: 设CF=x,在Rt△ACF和Rt△BCF中,分别用CF表示AC、BC的长度,然后根据AC﹣BC=1200,求得x的值,用h﹣x即可求得最高海拔.
解答: 解:设CF=x,
在Rt△ACF和Rt△BCF中,
∵∠BAF=30°,∠CBF=45°,
∴BC=CF=x,
∵AC﹣BC=1200,
答:钓鱼岛的最高海拔高度362米.
点评: 本题考查了解直角三角形的应用,解答本题的关键是根据俯角构造直角三角形求出AC、BC的长度,难度一般.
23.(8分)(2013•张家界)阅读材料:求1+2+22+23+24+…+22013的值.
解:设S=1+2+22+23+24+…+22012+22013,将等式两边同时乘以2得:
2S=2+22+23+24+25+…+22013+22014
将下式减去上式得2S﹣S=22014﹣1
即S=22014﹣1
即1+2+22+23+24+…+22013=22014﹣1
请你仿照此法计算:
(1)1+2+22+23+24+…+210
(2)1+3+32+33+34+…+3n(其中n为正整数).
考点: 同底数幂的乘法.
专题: 计算题.
分析: (1)设S=1+2+22+23+24+…+210,两边乘以2后得到关系式,与已知等式相减,变形即可求出所求式子的值;
(2)同理即可得到所求式子的值.
解答: 解:(1)设S=1+2+22+23+24+…+210,
将等式两边同时乘以2得2S=2+22+23+24+…+210+211,
将下式减去上式得:2S﹣S=211﹣1,即S=211﹣1,
则1+2+22+23+24+…+210=211﹣1;
(2)设S=1+3+32+33+34+…+3n,
两边乘以3得:3S=3+32+33+34+…+3n+3n+1,
下式减去上式得:3S﹣S=3n+1﹣1,即S=(3n+1﹣1),
则1+3+32+33+34+…+3n=(3n+1﹣1).
点评: 此题考查了同底数幂的乘法,弄清题中的技巧是解本题的关键.
24.(10分)(2013•张家界)如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)求证:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的长;
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.
考点: 矩形的判定;平行线的性质;等腰三角形的判定与性质;直角三角形斜边上的中线.
分析: (1)根据平行线的性质以及角平分线的性质得出∠1=∠2,∠3=∠4,进而得出答案;
(2)根据已知得出∠2+∠4=∠5+∠6=90°,进而利用勾股定理求出EF的长,即可得出CO的长;
(3)根据平行四边形的判定以及矩形的判定得出即可.
解答: (1)证明:∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,
∴∠2=∠5,4=∠6,
∵MN∥BC,
∴∠1=∠5,3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EO=CO,FO=CO,
∴OE=OF;
(2)解:∵∠2=∠5,∠4=∠6,
∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°,
∵CE=12,CF=5,
∴OC=EF=6.5;
(3)答:当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.
证明:当O为AC的中点时,AO=CO,
∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵∠ECF=90°,
∴平行四边形AECF是矩形.
点评: 此题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定和直角三角形的判定等知识,根据已知得出∠ECF=90°是解题关键.
25.(12分)(2013•张家界)如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点C(0,1),顶点为Q(2,3),点D在x轴正半轴上,且OD=OC.
(1)求直线CD的解析式;
(2)求抛物线的解析式;
(3)将直线CD绕点C逆时针方向旋转45°所得直线与抛物线相交于另一点E,求证:△CEQ∽△CDO;
(4)在(3)的条件下,若点P是线段QE上的动点,点F是线段OD上的动点,问:在P点和F点移动过程中,△PCF的周长是否存在最小值?若存在,求出这个最小值;若不存在,请说明理由.
考点: 二次函数综合题.
分析: (1)利用待定系数法求出直线解析式;
(2)利用待定系数法求出抛物线的解析式;
(3)关键是证明△CEQ与△CDO均为等腰直角三角形;
(4)如答图②所示,作点C关于直线QE的对称点C′,作点C关于x轴的对称点C″,连接C′C″,交OD于点F,交QE于点P,则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,△PCF的周长等于线段C′C″的长度.
利用轴对称的性质、两点之间线段最短可以证明此时△PCF的周长最小.
如答图③所示,利用勾股定理求出线段C′C″的长度,即△PCF周长的最小值.
解答: 解:(1)∵C(0,1),OD=OC,∴D点坐标为(1,0).
设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0),
解得:b=1,k=﹣1,
∴直线CD的解析式为:y=﹣x+1.
(2)设抛物线的解析式为y=a(x﹣2)2+3,
(3)证明:由题意可知,∠ECD=45°,
∵OC=OD,且OC⊥OD,∴△OCD为等腰直角三角形,∠ODC=45°,
∴∠ECD=∠ODC,∴CE∥x轴,则点C、E关于对称轴(直线x=2)对称,
∴点E的坐标为(4,1).
如答图①所示,设对称轴(直线x=2)与CE交于点F,则F(2,1),
∴ME=CM=QM=2,∴△QME与△QMC均为等腰直角三角形,∴∠QEC=∠QCE=45°.
又∵△OCD为等腰直角三角形,∴∠ODC=∠OCD=45°,
∴∠QEC=∠QCE=∠ODC=∠OCD=45°,
∴△CEQ∽△CDO.
(4)存在.
如答图②所示,作点C关于直线QE的对称点C′,作点C关于x轴的对称点C″,连接C′C″,交OD于点F,交QE于点P,则△PCF即为符合题意的周长最小的三角形,由轴对称的性质可知,△PCF的周长等于线段C′C″的长度.
(证明如下:不妨在线段OD上取异于点F的任一点F′,在线段QE上取异于点P的任一点P′,连接F′C″,F′P′,P′C′.
由轴对称的性质可知,△P′CF′的周长=F′C″+F′P′+P′C′;
而F′C″+F′P′+P′C′是点C′,C″之间的折线段,
由两点之间线段最短可知:F′C″+F′P′+P′C′>C′C″,
即△P′CF′的周长大于△PCE的周长.)
如答图③所示,连接C′E,
∵C,C′关于直线QE对称,△QCE为等腰直角三角形,
∴△QC′E为等腰直角三角形,
∴△CEC′为等腰直角三角形,
∴点C′的坐标为(4,5);
∵C,C″关于x轴对称,∴点C″的坐标为(﹣1,0).
过点C′作C′N⊥y轴于点N,则NC′=4,NC″=4+1+1=6,
综上所述,在P点和F点移动过程中,△PCF的周长存在最小值,最小值为.
点评: 本题是中考压轴题,综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、相似三角形、等腰直角三角形、勾股定理、轴对称的性质等重要知识点,涉及考点较多,有一点的难度.本题难点在于第(4)问,如何充分利用轴对称的性质确定△PCF周长最小时的几何图形,是解答本题的关键.