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2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学（文）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
1．B 2．D 3．C 4．A 5．B 6．C 7．C 8．B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9．
，
10．
11．，
12．
13．
14．
三、解答题（共6小题，共80分。解答应写出必要的文字说明，演算步骤）
15．（本小题共13分）
解：（1）
所以，最小正周期
当
（
），即
（）时
（2）因为
所以
因为
，所以
所以
，即
16．（本小题共13分）
解：（1）因为要停留2天，所以应该在3月1日至13日中的某天到达，共有13种选择，其间重度污染的有两天，
所以概率为
（2）此人停留的两天共有13种选择，分别是：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
其中只有一天重度污染的为，，，，共4种，
所以概率为
（3）因为第5，6，7三天的空气质量指数波动最大，所以方差最大。
17．（本小题共14分）
证明：（1）因为
，平面
底面
且平面
底面
所以
底面
（2）因为
和
分别是
和
的中点，所以
，
而
平面
，
平面，所以
平面
（3）因为底面， 
平面
所以
，即
因为
，
，所以
而
平面，
平面，且
所以
平面
因为
，所以
，所以四边形
是平行四边形，
所以
，而
平面，平面
所以平面，同理平面，
而
平面
，
平面且
所以平面
平面， 所以平面
又因为平面
所以平面
平面
18．（本小题共13分）
解：（1）
因为曲线
在点
处的切线为
所以
，即
，解得
（2）因为
所以当
时
，
单调递增
当
时
，单调递减
所以当
时，取得最小值
，
所以
的取值范围是
19．（本小题共14分）
解：（1）线段
的垂直平分线为
，
因为四边形
为菱形，
所以直线与椭圆的交点即为
，
两点
对椭圆
，令得
所以
（2）方法一：当点
不是
的顶点时，
联立方程
得
设
，
，
则
，
，
若四边形为菱形，则
，即
所以
即
因为点不是的顶点，所以
，
所以
即
，即
所以
此时，直线
与
轴垂直，所以为椭圆的上顶点或下顶点，与已知矛盾，
所以四边形不可能为菱形
方法二：
因为四边形为菱形，所以，
设
（
）
则，两点为圆
与椭圆的交点
联立方程
得
所以，两点的横坐标相等或互为相反数。
因为点在上
若，两点的横坐标相等，点应为椭圆的左顶点或右顶点。不合题意。
若，两点的横坐标互为相反数，点应为椭圆的上顶点或下顶点。不合题意。
所以四边形不可能为菱形。
20．（本小题共13分）
解：（1）
，
，
（2）因为
，
，
，
（
）是公比大于
的等比数列，且
所以
所以当
时，
所以当
时，
所以
，
，，
是等比数列。
（3）若，，，是公差大于
的等差数列，则
，，，
应是递增数列，证明如下：
设
是第一个使得
的项，则
，
，所以
，与已知矛盾。
所以，，，，是递增数列
再证明数列
中最小项，否则
（），则
显然
，否则
，与
矛盾
因而
，此时考虑
，矛盾
因此是数列中最小项
综上，
（）
于是
，也即，，，是等差数列
