19.（本小题满分13分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，……，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B，已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂得产品都符合相应的执行标准（I）已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：

且的数字期望=6，求a，b的值；

【解析】：本小题主要考查概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识、考查函数与方程思想、必然与或然思想、分类与整合思想，满分13分。

解：（I）因为，所以，即又由的概率分布列得，即由解得

（II）由已知得，样本的频率分布表如下：

用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数的概率分布列如下：

所以

=3×0.3+4×0.2+5×0.2+6×0.1+7×0.1+8×0.1=4.8即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8。

（Ⅲ）乙厂的产品更具可购买性，理由如下：因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为=1，因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为=1.2据此，乙厂的产品更其可购买性。

20.（本小题满分14分）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=，.

（I）求证：平面PAB⊥平面PAD；（II）设AB=AP.（i）若直线PB与平面PCD所成的角为，求线段AB的长； （ii）在线段AD上是否存在一个点G，使得点G到点P，B，C，D的距离都相等？说明理由。

【解析】：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想，满分14分。

法一：（Ⅰ）因为平面，平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面。

（II）以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）在平面内，作于点，

则，在

，设==，

则，由+=4得=4-，

所以

（）设平面的法向量为，由得

取得平面的一个法向量，又，故由直线与平面所成的角为得即，解得或（舍去，因为），所以

（）假设在线段上存在一个点C，使得点到点的距离都相等。

由，从而，即，

所以设，则

在中，，

这与矛盾，所以在线段上不存在一个点，使得点到的距离都相等。

法二：

（Ⅰ）同解法一

（II）（）以为坐标原点，建立空间直角坐标系（如图）在平面内，作于点E，

则，在中，

，设==，

则，由+=4得=4-，

所以

（）假设在线段上存在一个点C，使得点到点的距离都相等。

由，

从而，即，

所以

设，则

在中，

，这与矛盾，所以在线段上不存在一个点，使得点到的距离都相等。

21. 本题设有（1）、（2）、（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分，做答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

设矩阵 （其中a＞0，b＞0）.（I）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M-1；（II）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：，求a，b的值.

【解析】：本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，满分7分。

（Ⅰ）设矩阵的逆矩阵=，则=

又=，所以=

所以，即，

故所求的逆矩阵=

（Ⅰ）把极坐标系下的点化为直角坐标，得，因为点的直角坐标（0，4）满足直线的方程，所以点在直线上。

（II）因为点在曲线上，故可设点的坐标为，从而点到直线的距离为

由此得，当=-1时，取得最小值，且最小值为

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

设不等式的解集为M.（I）求集合M；（II）若a，b∈M，试比较ab+1与a+b的大小.

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