17. (本小题满分12分)
设Sn表示数列的前n项和.
(Ⅰ) 若为等差数列, 推导Sn的计算公式;
(Ⅱ) 若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列.
17. 【答案】(Ⅰ) ;
(Ⅱ) 是首项,公比的等比数列。
【解析】(Ⅰ) 设公差为d,则
.
(Ⅱ) 。
.
所以,是首项,公比的等比数列。
18. (本小题满分12分)
如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O⊥平面ABCD, .
(Ⅰ) 证明: A1BD // 平面CD1B1;
(Ⅱ) 求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.
18. 【答案】 (Ⅰ) ,见下.
(Ⅱ) 1
【解析】 (Ⅰ) 设.
.
.(证毕)
(Ⅱ) .
在正方形AB CD中,AO = 1 .
.
所以,.
19. (本小题满分12分)
有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛, 由500名大众评委现场投票决定歌手名次, 根据年龄将大众评委分为5组, 各组的人数如下:
组别 | A | B | C | D | E |
人数 | 50 | 100 | 150 | 150 | 50 |
(Ⅰ) 为了调查评委对7位歌手的支持状况, 现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委, 其中从B组中抽取了6人. 请将其余各组抽取的人数填入下表.
组别 | A | B | C | D | E |
人数 | 50 | 100 | 150 | 150 | 50 |
抽取人数 | 6 |
(Ⅱ) 在(Ⅰ)中, 若A, B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手, 现从这两组被抽到的评委中分别任选1人, 求这2人都支持1号歌手的概率.
19. 【答案】 (Ⅰ).
组别 | A | B | C | D | E |
人数 | 50 | 100 | 150 | 150 | 50 |
抽取人数 | 3 | 6 | 9 | 9 | 3 |
(Ⅱ)
【解析】 (Ⅰ) 按相同的比例从不同的组中抽取人数。
从B组100人中抽取6人,即从50人中抽取3人,从100人中抽取6人,从100人中抽取9人。
(Ⅱ) A组抽取的3人中有2人支持1号歌手,则从3人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为·
B组抽取的6人中有2人支持1号歌手,则从6人中任选1人,支持支持1号歌手的概率为·
现从抽样评委A组3人,B组6人中各自任选一人,则这2人都支持1号歌手的概率.
所以,从A,B两组抽样评委中,各自任选一人,则这2人都支持1号歌手的概率为.
20. (本小题满分13分)
已知动点M(x,y)到直线l:x = 4的距离是它到点N(1,0)的距离的2倍.
(Ⅰ) 求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ) 过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A, B两点. 若A是PB的中点, 求直线m的斜率.
20. 【答案】 (Ⅰ)..(Ⅱ)
【解析】 (Ⅰ) 点M(x,y)到直线x=4的距离,是到点N(1,0)的距离的2倍,则
.
所以,动点M的轨迹为 椭圆,方程为
(Ⅱ) P(0, 3), 设
椭圆经检验直线m不经过这2点,即直线m斜率k存在。.联立椭圆和直线方程,整理得:
所以,直线m的斜率
21. (本小题满分14分)
已知函数.
(Ⅰ) 求f(x)的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程;
(Ⅱ) 证明: 曲线y = f (x) 与曲线有唯一公共点.
(Ⅲ) 设a<b, 比较与的大小, 并说明理由.
21. 【答案】(Ⅰ) y = x+ 1.
当m 时,有0个公共点;当m= ,有1个公共点;当m 有2个公共点;
(Ⅲ) >
(Ⅱ)【解析】(Ⅰ) f (x)的反函数,则y=g(x)过点(1,0)的切线斜率k=.
.过点(1,0)的切线方程为:y = x+ 1
(Ⅱ) 证明曲线y=f(x)与曲线有唯一公共点,过程如下。
因此,
所以,曲线y=f(x)与曲线只有唯一公共点(0,1).(证毕)
(Ⅲ) 设
令。
,且
。
所以