19．（本小题满分14分）

设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．

(1) 证明：；

(2) 求数列的通项公式；

(3) 证明：对一切正整数，有．

【解析】（1）当时，，

（2）当时，，

,

当时，是公差的等差数列.

构成等比数列，，，解得,

由（1）可知，

是首项,公差的等差数列.

数列的通项公式为.

（3）

【解析】本题考查很常规，第（1）（2）两问是已知求，是等差数列，第（3）问只需裂项求和即可，估计不少学生猜出通项公式，跳过第（2）问，作出第（3）问.本题易错点在分成，来做后，不会求，没有证明也满足通项公式.

20．（本小题满分14分）

已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．

(1) 求抛物线的方程；

(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；

(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．

【解析】（1）依题意，解得（负根舍去）

抛物线的方程为；

（2）设点,，，

由,即得.

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即.

∵， ∴ .

∵点在切线上,∴. ①

同理， . ②

综合①、②得，点的坐标都满足方程 .

∵经过两点的直线是唯一的，

∴直线 的方程为，即；

（3）由抛物线的定义可知，

所以

联立，消去得，

当时，取得最小值为

【解析】2013广州模直接命中了这一题，广一模20题解法2正是本科第（2）问的解法，并且广一模大题结构和高考完全一致. 紫霞仙子：我的意中人是个盖世英雄，有一天他会踩着七色云彩来娶我，我只猜中了前头，可是我却猜不中这结局……形容这次高考，妙极！

21．（本小题满分14分）

设函数 ．

(1) 当时,求函数的单调区间；

(2) 当时,求函数在上的最小值和最大值．

【解析】：

(1)当时

,在上单调递增.

（2）当时，，其开口向上，对称轴 ，且过

（i）当，即时，，在上单调递增，

从而当时， 取得最小值 ,

当时， 取得最大值.

（ii）当，即时，令

解得：,注意到,

(注：可用韦达定理判断，,从而；或者由对称结合图像判断)

的最小值,

的最大值

综上所述，当时，的最小值,最大值

解法2（2）当时，对，都有，故

故，而 ，

所以 ，

【解析】：看着容易，做着难！常规解法完成后，发现不用分类讨论，奇思妙解也出现了：结合图像感知 时最小，时最大，只需证即可，避免分类讨论.本题第二问关键在求最大值，需要因式分解比较深的功力，这也正符合了2012年高考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”.

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