三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分12分）

已知函数,.

(Ⅰ) 求的值； (Ⅱ) 若,,求．

【解析】(Ⅰ)；

(Ⅱ)

因为,,所以,

所以,

所以.

17．（本小题满分12分）

某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.

(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；

(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；

(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率.

【解析】(Ⅰ) 样本均值为；

(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为,故推断该车间名工人中有名优秀工人.

(Ⅲ) 设事件:从该车间名工人中,任取人,恰有名优秀工人,则.

18．（本小题满分14分）

如图1,在等腰直角三角形中,,,分别是上的点,,为的中点.将沿折起,得到如图2所示的四棱锥,其中.

(Ⅰ) 证明:平面；

(Ⅱ) 求二面角的平面角的余弦值.

【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得连结,在中,由余弦定理可得

由翻折不变性可知,

所以,所以,理可证, 又,所以平面.

(Ⅱ) 传统法:过作交的延长线于,连结,因为平面,所以,

所以为二面角的平面角.结合图1可知,为中点,故,从而

所以,所以二面角的平面角的余弦值为.

向量法:以点为原点,建立空间直角坐标系如图所示,

则,,

所以,

设为平面的法向量,则

,即,解得,令,得

由(Ⅰ) 知,为平面的一个法向量,

所以,即二面角的平面角的余弦值为.

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