19．（本小题满分14分）

设数列的前项和为.已知,,.

(Ⅰ) 求的值；

(Ⅱ) 求数列的通项公式；

(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.

【解析】(Ⅰ) 依题意,,又,所以；

(Ⅱ) 当时,,

两式相减得

整理得,即,又

故数列是首项为,公差为的等差数列,

所以,所以.

(Ⅲ) 当时,；当时,；

当时,,此时

综上,对一切正整数,有.

20．（本小题满分14分）

已知抛物线的顶点为原点,其焦点到直线:的距离为.设为直线上的点,过点作抛物线的两条切线,其中为切点.

(Ⅰ) 求抛物线的方程；

(Ⅱ) 当点为直线上的定点时,求直线的方程；

(Ⅲ) 当点在直线上移动时,求的最小值.

【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线的方程为,由结合,

解得.

所以抛物线的方程为.

(Ⅱ) 抛物线的方程为,即,求导得

设,(其中),则切线的斜率分别为,,

所以切线的方程为,即,即

同理可得切线的方程为

因为切线均过点,所以,

所以为方程的两组解.

所以直线的方程为.

(Ⅲ) 由抛物线定义可知,,

所以

联立方程,消去整理得

由一元二次方程根与系数的关系可得,

所以

又点在直线上,所以,

所以

所以当时, 取得最小值,且最小值为.

21．（本小题满分14分）

设函数(其中).

(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间；

(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.

【解析】(Ⅰ) 当时,

,

令,得,

当变化时,的变化如下表:

右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.

(Ⅱ),

令,得,,

令,则,所以在上递增,

所以,从而,所以

所以当时,；当时,；

所以

令,则,

令,则

所以在上递减,而

所以存在使得,且当时,,

当时,,

所以在上单调递增,在上单调递减.

因为,,

所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.

综上,函数在上的最大值.

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