（19）（本小题满分12分）

如图，已知两个正方形ABCD 和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点。

（I）若CD＝2，平面ABCD ⊥平面DCEF，求直线MN的长；

（II）用反证法证明：直线ME 与 BN 是两条异面直线。

（19）解

（Ⅰ）取CD的中点G连结MG，NG.

因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，

所以MG⊥CD，MG＝2，.

因为平面ABCD⊥平面DCEF，

所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG.

所以 ……6分

（Ⅱ）假设直线ME与BN共面， …..8分

则平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，

由已知，两正方形不共面，故平面DCEF.

又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB∥EN.

又AB∥CD∥EF,

所以EN∥EF，这与矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线。 ……..12分

（20）（本小题满分12分）

某企业有两个分厂生产某种零件，按规定内径尺寸（单位：mm）的值落在（29.94，30.06）的零件为优质品。从两个分厂生产的零件中个抽出500件，量其内径尺寸，的结果如下表：

甲厂

（1）试分别估计两个分厂生产的零件的优质品率；

（2）由于以上统计数据填下面列联表，并问是否有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。

附：

（20）解：

（Ⅰ）甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为； ……6分

乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为

（Ⅱ）

……8分

所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异”。 ……12分

（21）（本小题满分12分）

设，且曲线y＝f（x）在x＝1处的切线与x轴平行。

（I）求a的值，并讨论f（x）的单调性；

（II）证明：当

（21）解：

（Ⅰ）.有条件知，

，故. ………2分

于是.

故当时，＜0；

当时，＞0.

从而在，单调减少，在单调增加. ………6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知在单调增加，故在的最大值为，

最小值为.

从而对任意，，有. ………10分

而当时，.

从而 ………12分

（22）（本小题满分12分）

已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（－1，0）（1，0）。

（1） 求椭圆C的方程；

（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。

(22)解：（Ⅰ）由题意，c＝1,可设椭圆方程为。

因为A在椭圆上，所以，解得＝3，＝（舍去）。

所以椭圆方程为 ． 　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．4分

（Ⅱ）设直线ＡＥ方程：得，代入得

设Ｅ（，），Ｆ（，）．因为点Ａ（1，）在椭圆上，所以

，

。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　．．．．．．．8分

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得

，

。

所以直线EF的斜率。

即直线EF的斜率为定值，其值为。 　　 ．．．．．．．12分

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